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函数空间上Toeplitz算子的交换性

陈泳  
【摘要】: 本博士论文主要考虑单位圆盘Dirichlet空间和调和Dirichlet空间上较一般符号Toeplitz算子的交换性问题.Dirichlet空间作为一类重要的函数空间,其上的函数论和算子论与经典的Hardy空间,Bergman空间有重大差别,其上的Toeplitz算子作为最重要的特殊算子类之一,其研究对函数论和算子论起着重要的作用. 在第一章和第二章里,我们在经典导数意义下分别讨论了Dirichlet空间D0和D上Toeplitz算子的交换性.我们引入了一类较一般的符号Lθ∞,1,证明了在Dirichlet空间D0上此类符号Toeplitz算子的交换性分为两种情形,一种是对Ω符号,其交换性仅仅是调和符号的推广,另一种是对Lθ∞,1-Ω符号,其交换性与Bergman空间情形一样复杂,此时我们考虑了拟齐次符号的Toeplitz算子的交换性,得到的结果表明与Hardy, Bergman空间情形都不同.而在Dirichlet空间D上,我们发现Ω符号的Toeplitz算子交换性不仅仅是调和符号的简单推广,我们给出了出现新情形的例子. 在第三章里,我们在分布导数意义下讨论了Dirichlet空间D0上Toeplitz算子的交换性.我们不仅刻画了函数类L∞,1和L2,1,同时也刻画了Toeplitz算子的有界性和紧性.在前面这些刻画的基础上,我们给出了一般符号Toeplitz算子的交换性的刻画. 在第四章里,我们在分布导数意义下讨论了调和Dirichlet空间上Toeplitz算子的代数性质.首先得到了有界性和紧性的刻画,其次刻画了交换Toeplitz算子.同时也研究了何时两个Toeplitz算子的乘积为另一个Toeplitz算子的乘积问题.相应的问题我们也考虑了紧的情形.所得对一般符号的Toeplitz算子交换性的结果不仅与Hardy空间,Bergman空间不同,也和Dirichlet空间不同.


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