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可压液晶方程组弱解的存在性及其性质

马文雅  
【摘要】: 我们知道,物质都是由不同层次的微观粒子组成的。例如,常见物质是由分子组成的,而分子又是由原子组成的,如此这般。当大量的微观粒子在一定的温度和压强下聚集为一种集合状态时,就将这种集合状态称为物态。“物态”是按属性划分的实物存在的基本形态,日常生活中最常见的物质形态就是固态、液态和气态。从构成来说这类状态都是由分子或原子的集合形式决定的。由于分子或原子在这三种物态中的运动状况不同,而使我们看到了不同的特征。例如,从物质内部结构来考虑,有些固体内部分子或原子的排列是规则的,具有周期性和对称性,这种状态称为结晶态。另一些固体,如玻璃、塑料、沥青等,虽然在常温下有固定的体积和外形,但内部结构更像液体,称为非晶态或玻璃态。而一些有机物质,既具有类似液体的流动性,又具有类似晶体的光学性质,介于液态和晶态之间,称为液晶态或介晶态。实际上有许多种有机物,都呈现这种介乎于液相与固相之间的异常物质形态。 本文考察的就是处于液晶态的物质,即液晶的某些性质。我们知道,从微观看,当物体处于晶态时,原子或分子紧密排列成晶格,其物理性质多为各向异性,有规则的几何外形,有固定熔点等。当处于液态时,由于晶体熔化晶格解体,其分子排布较凌乱,不再具有规则外形和各向异性特征。液晶介于其间,其分子排列较松散,但结构上仍保存一维或二维有序排列,具有一定的取向,但是液晶的排列是不稳定的,外界条件的微小变动都会引起液晶分子排列变化,从而改变液晶的某些性质。 1888年,奥地利植物学家莱尼茨尔(F.Reinitzer) [1]在一种胆固醇的衍生物——胆甾醇苯甲酸酯(C6H5CO2C27H45)中首先发现了这种新奇的物质相。在由固相融为液相的过程中,这种衍生物呈现出了一种奇特的、用当时的幼稚物质理论无法解释的特性。莱尼茨尔观察到胆甾醇苯甲酸酯的双熔点的现象,而且,在这两个熔点之间,他观察到了双折射和彩虹色谱。尽管液晶的发现已有一百多年的历史,但直到二十世纪七十年代,由于发现了液晶的一系列物理效应,才引起人们注意[2]。而由于液晶具有光电效应、热效应、光化学效应等重要的物理和化学性质,使其在生产生活和科学研究方面都获得了广泛的应用。如今,液晶显示(LCD)已广泛地用于手表、计算器、飞机以及其他各种设备,尤其各类计算机的彩显终端,深刻走入并改变了我们的生活。在今天这个科技时代,液晶已充当了人与机器之间的至关重要的接口,并且可以预测,在未来,随着对信息显示需求的与日俱增,液晶显示将发挥越来越大的作用。液晶的力学性质如同流体,但它的电、光、热等物理性质却如同晶体,具有显著的各向异性。液晶的这种电、光特性被用来传递信息,可被用于无损探伤、医疗检查以及半导体行业等多项领域[3][4]。 本文的主要内容是关于液晶系统的弱解存在性,能量函数的有界性,以及时间趋于无穷大的时候,弱解收敛于一个平衡态的结论。 对于可压液晶系统的能量函数的有界性和弱解的稳态收敛的研究是本文主要研究兴趣所在。液晶方程组包含依赖密度的Navier-Stokes方程组作为子系统,所以作为一个耦合的方程组,不可能期望得到比Navier-Stokes方程组更好的结果。对Navier-Stokes方程组本身的研究一直都是一项重要的课题,经过漫长的发展过程,也已经得到大量的结论、形成很多专著,如R.Temam [5], Ladyzhenskaya [6], P.Constantin [7], H.-O.K.J.Lorenz [8]和E.Feireisl [9]等等。自从液晶理论发展起来以后,大量关于液晶特性的理论和实验性的结果涌现出来,但是大部分都是关于液晶材料在电磁场作用下的效应的。Ericksen-Leslie理论非常好的预言了一些性质,这可以参考J.L.Ericksen D.Kinderlehrer等人的著作[13]。关于液晶的背景基础知识,也可以参考S.Singh [10], I.Khoo [11], A.D.Alan Windle S.Hanna [12]等等。林芳华和柳春曾经从数学角度对不可压的液晶系统证明了一些结果,有些方法也很有价值。如今我们重新来考察这个可压的液晶系统,对于可压的液晶系统,也可以证明弱解的存在性[31],并且从这个层面出发可以寻求它更多的特性,例如能量函数的有界性和弱解在时间趋于无穷大时收敛到稳态解等等,这些结果均为此前文献中所未见。 考虑到论文中可压液晶系统的特点和数学困难,我们将首先采用粘性消去法、利用Faedo-Galerkin逼近函数的收敛得到弱解的存在性,这将是我们下面研究能量函数有界性的基础,对于接下来研究解的大时间渐近性态也是至关重要的。在第二章整体弱解的存在性证明过程中,以及在第三章能量函数的有界性和弱解的大时间性态证明中,可以看到仅由密度函数列的弱收敛并不能保证对应压力项的弱收敛,如何得到压力项序列的强收敛或高次可积性也是本文的难点之一,这些在相应的章节也都会有对应描述。具体地,全文结构安排如下: 第一章绪论,简要回顾问题的背景和研究现状,介绍了可压液晶系统的特点,并简要列举了必要的一些基本定理和常用不等式。 第二章,考虑可压的Ericksen-Leslie液晶系统弱解的存在性。 第三章,在得到弱解存在性的结论基础上,进而研究能量函数的有界性和弱解的大时间性态。


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