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解析Hilbert空间上的可迁代数、约化代数和相关不变量

程国正  
【摘要】: 本文主要研究解析Hilbert空间上的可迁代数,约化代数和相关的不变量。 可迁代数问题和约化代数问题是目前算子论中的两个重要公开问题,在上世纪六七十年代,这两个问题被许多学者广泛研究,但是从此之后,几乎没有实质性进展。在本文中我们对这两个问题的研究引入新的工具:纤维维数。纤维维数是处理许多重要函数论问题和算子论问题的一个有效不变量。在再生解析Hilbert空间上,我们将可迁代数问题约化成对不变图子空间的纤维维数的计算。这是第一次建立可迁代数问题和纤维维数的联系,为可迁代数问题的研究提供了一个全新的途径。同时我们还获得了纤维维数的一些重要性质,比如有限维扰动稳定性,可加性等。 在此基础上,我们证明对具有完全Nevanlinna-Pick核的解析Hilbert空间,若所考虑的代数包含解析乘法算子全体,则可迁代数问题和约化代数问题得到肯定回答。进一步,在乘子不变子空间上,也具有相应的结果。 最后我们考虑了一个重要加法不变量,它是定义在单位球向量值Hardy空间的不变子空间上的。这个不变量是Arveson曲率在非Nevanlinna-Pick核空间上的一个推广。我们证明了这个不变量等于纤维维数,并且在特定情形下等于Samuel重数。同时对有限重的纯等距而言,我们建立了这个不变量与Fredholm指标的联系。


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