收藏本站
收藏 | 手机打开
二维码
手机客户端打开本文

符号矩阵的复推广中若干问题及其图论方法的研究

李琳  
【摘要】: 符号矩阵理论是组合矩阵论的一个新兴研究分支,是近年来在组合数学中较为活跃的一个研究方向。该理论主要研究矩阵的仅与其符号模式有关的定性性质。符号矩阵理论最早起源于经济学中对某些问题的定性性质的研究。其开创性工作是由诺贝尔奖获得者、经济学家P. Samuelson作出的(参见文献[46])。由于符号矩阵理论在经济学中有着重要的应用背景,从而引起了经济学家、数学家及计算机理论专家的广泛关注。1995年,R.A.Brualdi与B.L.Shader的关于符号矩阵论的专著《Matrices of Sign-solvable Linear systems》(文献[12])的问世极大地推动了符号矩阵理论的发展,它全面系统地总结了在符号矩阵理论方面的研究成果,同时给出了许多新的结论,从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个新兴研究热点。 本文主要研究符号矩阵理论的复推广中的一些重要问题,研究主要分两个方面:一是系数矩阵为方阵的复线性方程组为ray可解性的研究;二是作为SNS阵的复推广的DRU阵(即行列式ray唯一矩阵)和作为S~ -阵的复推广的ray S~ -阵的联系。在这两方面的研究中,我们都将主要使用图论的方法来研究这些原本提法是纯代数的问题。 近年来,符号矩阵理论的复推广成为国内外众多学者关注的一个热点,人们首先关注的是符号矩阵理论中的若干核心研究问题的复推广。这些问题包括线性方程组的符号可解性的复推广,及在线性方程组的符号可解性问题的完全解决中起到关键作用的符号非异矩阵(即SNS阵)和S~ -阵的复推广。 在最初的复推广研究中,作为SNS阵的标准复推广是ray非异矩阵。后来,随着对ray非异矩阵研究的深入,人们发现矩阵的许多重要性质对ray非异矩阵都不再成立(特别是SNS阵的图论特征刻划及SNS矩阵与符号可解线性方程组的许多重要关系)。在这样的复推广有障碍的背景之下,人们就转而寻找SNS阵的其他复推广。在[26]中,Shao和Shan引进了SNS阵的另一种复推广—DRU矩阵,成功地克服了上述障碍,使得符号矩阵的复推广理论能够顺利地得到进一步的推进。 在本文中,首先我们利用SNS阵的另一种复推广—DRU矩阵,用图论的方法对系数矩阵为方阵的复线性方程组的ray可解性进行了的研究,得到了如下的图论特征刻划: 1.在§2.3中我们得到了具有标准形式的、系数矩阵A为方阵的复线性方程组Ax=b为全非零ray可解的图论判别法及其解的ray模式的图论完全刻划。 2.在§2.3中我们还得到标准形方复线性方程组为全正ray可解的如下的图论刻划,即:设Ax=b及W如定理2.3.1。则Ax=b为全正ray可解当且仅当S(A)和W满足如下三条件: (1).S(A)中任一圈的ray均为负。 (2).S(A)中任一点均到W中某点有路。 (3).W中点都是S(A)中的正端。 在上面得到的关于全非零ray可解及全正ray可解的图论刻划这两个特殊情形下的结论的基础上,我们进一步考虑了一般ray可解性的图论刻划,得到了第二章中的主要结论—一般ray可解的方复线性方程组的图论特征刻划。 在第三章中,我们将上述图论刻划中出现的诸相关的带ray有向图定义为W~+-ray可解带ray有向图和W-ray可解带ray有向图,并进一步对上述带ray有向图及其基础有向图的性质作了较为深入的研究,得到了如下结论: 1.关于强连通W~+-ray可解带ray有向图及w-ray可解基础有向图,我们得到了如下的用禁用子图来描述的图论特征刻划: 设w是强连通有向图D中的一个点,则D是w-ray可解基础有向图的充要条件是D中不含有D_w型子图(详见正文中的图)。 2.在§3.4中主要研究了一般情形下(即不一定是强连通的情形)的W~+-ray可解带ray有向图及W-ray可解带ray有向图的特征刻划。得到了如下的一些结论: (A):W~+-ray可解带ray有向图的特征刻划: 设W是带ray有向图S的一个非空点子集,满足假设条件(A.1)-(A.3)(见第三章定义),则S是W~+-ray可解(即每个圈的ray均为负且W中点均为正端)的充要条件是S满足如下两条件: (1).S中所有支间弧的ray均为正。 (2).S中任一强分支S_i中都存在(唯一的)一点v_i满足如下三条件: (2.1).v_i=w_i对i=1,…,r。 (2.2).每个S_i都是(强连通的)v_i~+-ray可解。 (2.3).S中每一条离开强分支S_i的弧都以v_i为始点。 (B):一般情形下的W-ray可解带ray有向图的特征刻划: 设W是带ray有向图S的一个非空点子集,满足假设条件(A1)-(A5)(见第三章定义),按如下方式定义带ray有向图D:D中点d_1,…,d_n,如S_i到S_j有支间弧,则定义d_i到d_j有弧,且该弧的ray为以v_i为始点经过S_i到S_j的支间弧到v_j的任一路的ray,则S是W-ray可解的充要条件是S满足如下两条件: (1).d_i(1≤i≤r)到d_j(1≤j≤r)的任一路的ray为正。 (2).d_i(i>r)到所有d_j(1≤j≤r)的所有路的ray都相等。 (其中诸d_i的定义见第3章。) 众所周知,在线性方程组的符号可解性问题的完全解决中起到关键作用的符号非异矩阵(即SNS阵)和S~ -矩阵是符号矩阵理论(这一组合矩阵论的新兴研究领域)的核心研究内容。 He和Shan在[5]中给出了符号非异矩阵的S~ -开拓的若干充要条件。我们在上述研究基础上,在第四章中也用图论方法对作为SNS阵的复推广的DRU阵和作为S~ -阵的复推广的ray S~ -阵的联系进行了研究,得到了如下结论: 1.在§4.3中我们对强连通DRU矩阵的ray S~*-开拓进行了研究,得到了如下结论: (A):S是完全不可分的对角元全负的DRU矩阵A的带ray伴随有向图,w是S中的任一点,如S中不存在D_w型子图,b是唯一非零元在w行的列向量,则(A,b)为ray S~*-阵。 由此可知,任一完全不可分DRU矩阵A,可以取带ray伴随有向图S中任何不存在D_w型子图的点w,拓展为ray S~*-阵。 (B):A是对角元全负的完全不可分DRU矩阵,S是A的带ray伴随有向图,则A可开拓为ray S~*-阵的充要条件是S中存在点w,使得S中不存在D_w型子图。 2.在§4.4中,我们对一般情形DRU矩阵的ray S~*-开拓问题进行了研究,得到了一般情形下DRU矩阵可开拓为ray S~*-的若干充要条件。


知网文化
【相似文献】
中国期刊全文数据库 前20条
1 万宏辉;(0,1)-矩阵类(?)(R,S)的结构和基数(英文)[J];数学研究与评论;1984年01期
2 ;大型重要特殊矩阵类的理论及其数值分析[J];电子科技大学学报;2002年03期
3 包学游;特征值的实部为正或为非负的矩阵类[J];哈尔滨工业大学学报;1994年02期
4 展涛;(0,1)-矩阵类(?)(R,S)[J];数学研究与评论;1984年04期
5 李乔,万宏辉;论(0,1)-矩阵类的多项式表示[J];高校应用数学学报A辑(中文版);1986年01期
6 魏万迪;(0,1)矩阵类■(R,S)的势[J];四川大学学报(自然科学版);1980年04期
7 万宏辉;(0,1)-矩阵类■(R,S)的结构和基数[J];数学学报;1987年03期
8 吴晓红;(0,1)-矩阵类U(R,S)的势[J];四川大学学报(自然科学版);1986年04期
9 赵俊锋;;矩阵同时对角化[J];科技信息(科学教研);2008年21期
10 刘安龙;可自交换函数矩阵类的化简及应用[J];怀化学院学报;1988年06期
11 张福基;张云浒;;一类(0,1)-多面体[J];新疆大学学报(自然科学版);1990年04期
12 万宏辉;(0,1)-矩阵类■(R,S)的基数函数f(R,S)及其非零集[J];数学研究与评论;1985年04期
13 李乔;;具有给定行和与列和向量的(0,1)——矩阵类[J];中国科学技术大学学报;1985年S2期
14 杨益民;;乘积对角占优矩阵的特征值分布[J];数学季刊;1992年03期
15 刘晓琳;赵晓东;;MATRIX在测量程序设计中的应用[J];科技信息;2009年07期
16 任灵枝;;关于矩阵的复符号模式类的行列式值域的一个猜想[J];高校应用数学学报A辑;2010年02期
17 刘玉记;(0,1)—矩阵类U(R,S)的势函数[J];佛山科学技术学院学报(社会科学版);1995年06期
18 陈计,季文;某些分析不等式的矩阵类似[J];宁波大学学报(理工版);1995年03期
19 邵嘉裕;关于(0,1)矩阵类U(R,S)的基数的一个猜测[J];同济大学学报(自然科学版);1986年01期
20 魏万迪;矩阵αl+βJ的性质[J];四川大学学报(自然科学版);1988年01期
中国重要会议论文全文数据库 前4条
1 邵利民;;双线性矩阵类型数据的TFA结果与组分化学性质的关系研究[A];中国化学会第27届学术年会第15分会场摘要集[C];2010年
2 傅诒辉;王书宁;戴建设;刘小也;;关于线性方程组Ax=b的反问题求解[A];1994中国控制与决策学术年会论文集[C];1994年
3 王军;;实现矩阵复合运算的一种方法[A];2011年河北省冶金信息化自动化年会论文集[C];2011年
4 潘建华;崔骏业;;复杂网络CAD的面向对象方法[A];1995年全国微波会议论文集(下册)[C];1995年
中国博士学位论文全文数据库 前6条
1 马超;矩阵的稀疏性与零—非零模式[D];华东师范大学;2014年
2 李厚彪;几种特殊矩阵类的数值特征、算法和预处理技术[D];电子科技大学;2007年
3 彭亚新;求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究[D];湖南大学;2005年
4 邓远北;几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题[D];湖南大学;2003年
5 周富照;几类约束矩阵方程及其最佳逼近[D];湖南大学;2003年
6 张玲;符号模式矩阵的若干问题研究[D];电子科技大学;2012年
中国硕士学位论文全文数据库 前10条
1 周金华;特殊矩阵类及特殊矩阵类上的矩阵方程的求解问题[D];湘潭大学;2003年
2 凃淑恒;循环矩阵类开任意次方程的算法[D];西华大学;2011年
3 荣建英;域上矩阵类保持问题[D];南京航空航天大学;2006年
4 韩俊林;对角占优矩阵、块对角占优矩阵及其相关特殊矩阵类的一些研究[D];湘潭大学;2002年
5 徐猛;特殊矩阵类及其逆矩阵的快速三角分解算法[D];西北工业大学;2003年
6 高连军;块α-对角占优阵的判定及特征值包含域[D];北华大学;2007年
7 周生伟;逆M、逆Z矩阵的性质及相关结果[D];电子科技大学;2006年
8 田海;基于产生式编程的矩阵计算库的设计与实现[D];大连理工大学;2008年
9 秦霁;非负矩阵Perron根上下界的估计[D];电子科技大学;2006年
10 唐耀平;两类矩阵反问题的最小二乘解及其最佳逼近[D];湖南大学;2007年
 快捷付款方式  订购知网充值卡  订购热线  帮助中心
  • 400-819-9993
  • 010-62982499
  • 010-62783978