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Lorenz流形的数值分析

王光宏  
【摘要】: 近40多年来对Lorenz吸引子的研究,主要是从动力学角度揭示了Lorenz系统的混沌复杂性。Lorenz吸引子复杂的分形结构,能在一定程度上从分形几何学的角度反映出系统的混沌动力特性。但Lorenz吸引子无法在全局的层面上对三维相空间进行分割和组织,这个角色只能由Lorenz流形来担当。Lorenz流形是指那些时间趋向无穷大时趋向于原点的相点的集合,只能借助数值手段来计算。现有的许多流形算法只是把Lorenz流形作为一个测试对象来验证流形算法本身的有效性,却忽视了通过对Lorenz流形自身几何特性的深入刻画,从几何角度审视Lorenz系统的复杂性。Lorenz流形的计算过程对应着系统在反向时间方向上的演化。由于其无界性,Lorenz流形的许多细节只能通过大量的计算获取足够大的流形表面才能够被揭示出来。这是目前的算法无法做到的,其中有些是因为算法本身的局限性造成的,比如基于短程线距离的算法,由于其忽略了流形表面的动力特性,会因为过早地陷入流形局部的大曲率部分而停止。而有些算法则是因为大流形需要大量数据来描述,有限的系统资源成为瓶颈。因此本文提出一些新的算法来揭示Lorenz流形的几何真面目,这套算法能够从局部、整体和截面等不同层面对Lorenz流形进行刻画。这些算法不仅仅局限于对Lorenz流形的研究,它还被应用于其它类型的系统,如高维系统和快慢系统,通过对不变流形的几何特性的刻画来揭示系统的动力本质。 由于现有的流形算法之间的具体实现环境和结果的可视化环境都不大一样,因此无法对它们的结果进行直观的比较和分析。所以本文先是根据算法是基于短程线距离还是弧长,是否是流驱动的,将现有的流形算法分成4类,然后从4类算法中分别选择一种算法,统一在Matlab环境下将它们实现,同时利用Matlab强大的可视化功能对它们的结果进行叠印比较。但由于真正的Lorenz流形的未知性,使得从根本上,无法知道计算结果的准确性。为了解决这一问题,本文通过精确数值积分,求得流形表面上的部分轨线来构建Lorenz流形的部分轮廓。将流形算法求得的流形轮廓与其进行比较便能确定算法的准确性。比较结果说明所选的4种算法的计算结果相互间虽然存在些差异,但都能在误差范围内对Lorenz流形的几何形状进行刻画。 由于大多数流形算法都是从原点处的一阶稳定特征平面E~s(0)上选取靠近原点的一圈起始点,然后逐圈迭代增长,所以这些点的选择精度比较重要。但如果太靠近原点,特别是对于流驱动的算法,会因为流向量的模|f(x)|太小而影响算法的速度。为了解决这一问题,需要求得局部流行的高阶表达式为算法提供更准确的初始点,而且这些点无需太靠近原点。基于半张量理论可以给出局部流行的任意阶表达式,且无需对系统的坐标进行转换,所以本文利用基于半张量理论的局部流形计算方法,给出Lorenz流形在原点附近局部流形的二阶解析表达式,为后续的全局流形算法提供更准确的初始点,提高算法的准确性。 Guckenheimer和Vladimirsky通过求解偏微分方程来计算Lorenz流形局部,流形表面由三角形杂乱地拼接而成,其核心是给定流形上已知的两点,求三角形的第三个点。流形的局部信息,即每个三角形,用偏微分方程来描述,可在Euler框架下通过Newton迭代法对其进行快速求解。但由于局部三角形是被杂乱地拼接在一起的,所以流形表面的增长是无规则的,这种不合理的结构增加了流形算法的复杂性。而采用短程线圈结构便不存在这问题,于是本文将其中的快速核心部分应用于短程线圈结构,提出基于短程线距离和非流驱动的流形算法,其中三角形被组织到几何结构更加合理的环带上来描绘Lorenz流形,从数据结构的角度来说也更易于算法的具体实现。 由于目前的算法无法获取足够多的数据量来揭示Lorenz流形的几何复杂性,其中有些是因为算法本身的局限性造成的,有些是因为系统的资源瓶颈决定的。因此本文提出基于弧长和流直接驱动的流形算法(AF06BIG)来揭示Lorenz流形的几何真面目。它能从整体和截面等不同层面对Lorenz流形进行刻画。该算法采用局部曲率自适应机制,能用相对较少的数据量来描绘较大面积的Lorenz流形,具有较强的伸缩性。并且根据该算法的结果得出Lorenz流形表面在t<0方向上具有吸引性的结论,根据其层出不穷的几何结构猜想其为三维相空间下的分形几何体。 由于Lorenz流形是无界的,所以那些径向逐圈增长流形表面的算法比较适合,而且计算结果能够易于可视化。但在实际系统的应用中,会碰到不变流形有界且各个分量增长不均匀的情形。这时轨线延拓算法(AN91ORB)会比较适合,其用轨线来描述流形的思路能与其它算法互补。而且对于这些系统,直接用轨线同样能得到较好的可视化效果。由于轨线延拓算法是基于数值延拓和正交配置法来求解轨线的,相对于单射法,其求解过程精度高,速度快,且算法较稳定。但其原来的实现环境AUTO无法在线显示计算结果,且可移植性较差,再加上本文的流形算法都是在Matlab下实现的,为保证实现环境的一致性,并为以后能将所有流形算法集成在Matlab环境中,便于他人使用,本文利用Matlab环境下的数值延拓工具MatCont结合Matlab强大的数值计算和可视化功能,实现了流形轨线延拓算法。 在对Lorenz流形的数值分析过程中,本文实现了5个流形算法,但其有效性还有待于在其它类型系统的应用过程中来得以验证。每个算法的适用范围也需要在不断的使用过程中才能得以确认。另一方面,算法的结果应该要能解释系统的某些现象。于是,本文选了两个例子,一个是倒立摆的最优控制系统,另一个是生物神经元模型。前者为4维Hamilton系统,后者为3维快慢系统。对前者的研究表明了算法AF06BIG适用于高维系统。对后者的研究是利用算法AF06BIG和AN91ORB,在快慢型神经元模型中寻找Plykin吸引子的尝试性的开始。虽然在现有的参数配置下,未能找到Plykin吸引子,但计算结果已经证实,算法AN91ORB能够用来刻画快慢型神经元的二维不变流形,为进一步寻找Plykin吸引子铺平了道路,指明了方向。


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