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几类随机与脉冲微分方程的定性分析

赵佃立  
【摘要】:本文主要利用随机分析方法、Liapunov函数方法和不动点理论研究了几类随机微分方程和脉冲微分方程解的有界性和零解的稳定性。全文共分为五个部分。 第一章介绍了几类微分方程研究的背景和意义,以及主要工作概述。 第二章首先改进了确定性的中立型可变时滞的线性微分方程(由Raffoul在2003年首先提出研究)及其推广方程的解的有界性和零解的渐近稳定性判别条件,并讨论了方程零解的一般稳定性和正解存在性。然后本章还研究含脉冲对中立型可变时滞线性微分方程解的影响。利用不动点理论给出了方程解的有界性和零解的渐近稳定性与指数稳定性的充分条件,并且给出了其推广形式的相应结论。最后本章研究了随机因素对中立型可变时滞线性微分方程的影响引理分别给出了方程解的均方有界性、均方渐近稳定性、均方指数稳定性和几乎必然指数稳定性的充分条件。 第三章首先考虑测度链上的脉冲微分方程应用Liapunov函数方法首次给出了该方程解的有界性和零解指数稳定性的若干充分条件。然后讨论了一种脉冲分析法:对给定的测度链,将测度链上的微分方程转化成脉冲微分方程或者不含脉冲的微分方程。最后用该方法讨论了测度链上的随机微分方程给出了方程解的有界性和零解稳定性的充分性判据。 第四章主要讨论含脉冲影响的一般化随机Volterra方程通过所推得的不等式,结合Liapunov函数给出了该方程解的有界性、零解指数稳定性和非指数稳定性的若干充分条件。 第五章从已知的几个模型出发,研究一类Volterra型投机泡沫过程。针对其中系数函数的不同取值,本章讨论了三种特例。对第一种特例,直接求出了泡沫破裂的概率估值。对第二种特例: 本文利用鞅不等式讨论了该过程的非负性、指数收敛性和增长边界。考虑到市场的状态总是在不断变换,第三个特例是在上述过程基础上的一类含有马氏调制的Volterra型投机泡沫过程利用布朗运动的极限性质,估计了该过程在不同情形下的Liapunov指数,并给出了非线性项有界情形的增长边界。


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