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医学图像重建中的数学建模及算法研究

丁乔乔  
【摘要】:医学图像重建是一项非入侵地获得人体内部可视化结构的重要技术。医学成像技术和应用的发展对医学重建提出了更高的要求,例如对动态影像和超低剂量计算机断层成像(Ultra low dose Computed Tomography,ULDCT)等影像的重建。高空间和时间分辨率以及快速省时是重建的基本要求,同时重建也要求数据获取过程尽量用时较少并且尽量减少对患者的辐射。一方面,在动态单光子发射计算机成像(Single-Photon Emission Computed Tomography,SPECT)重建中,利用有效的方法准确地重建图像对于疾病诊断越来越重要。由于动态变化的存在和设备的局限性,我们在实际中只能获得少量的投影数据。有效地处理获得的少量数据,几乎是对所有的成像设备的挑战。此外,噪声的存在和物体的运动导致动态图像重建中存在更多的困难。另一方面,长时间暴露在X射线环境中或者较大强度的X射线对人体有巨大的伤害。为了减少X光的辐射,快速扫描以及减小X射线的剂量是两个重要的切入点,由此ULDCT成为热门的研究领域。本文旨在探索动态SPECT和ULDCT重建模型以获得高质量的图像同时减少X光对人体的伤害。利用动态SPECT我们能够监测生物过程。然而,从动态SPECT数据中重建动态的图像仍然是一个难题。由于放射性同位素随时间快速衰减,对于每一帧图像,我们只能得到较少的投影数据。这些投影数据包含很少的图像信息,特别是当数据伴随噪声以及组织或器官存在形变时。我们首先提出了基于对未知图像做低秩矩阵分解以及要求表示系数和基的稀疏性作为正则化项的变分模型:强制稀疏矩阵分解模型(Sparsity enforced matrix factorization,SEMF)。SEMF模型可通过交替迭代方法求解,每个子问题都是凸的并且可以使用交替方向乘子法(Alternating direction method of multiplier,ADMM)求解。SEMF模型是非凸的优化问题,其交替求解方法的收敛性基于[1,2]中研究的Kurdyka-?ojasiewicz性质得到。在2D/3D模拟动态图像重建的数值实验中,提出的模型与传统的方法相比显示出了巨大的优势。为了克服SEMF模型存在的不足并改进SEMF模型的结果,我们提出了另一种变分模型,这种模型关键在于利用关于全变差的Bregman距离的卷积下确界来刻画图像序列相互依赖的边界。所提出的模型通过交替迭代方法来解决,每个子问题都是凸的并且可以通过原始对偶混合梯度法(Primal Dual Hybird Gradient,PDHG)等现有的算法来求解。在数值实验中,我们模拟了两个动态图像数据集,并且所模拟的数据考虑了高斯和泊松两种噪声的情形,和SEMF相比,提出的模型能够更精确的重建图像。X射线CT重建中,统计图像重建(Statistical image reconstruction SIR)模型可以重建高质量更精确的图像,同时可以大大减少患者在X射线中的暴露。当通过降低管电流将X射线剂量进一步降低至超低水平时,会发生光子不足、测量数据中电子噪声开始占主导地位的现象,这会在原始测量数据中引入负值或零值。这些非正值对需要先将原始数据取对数的post-log SIR方法提出了挑战,并且如果使用简单的校正方法来处理这些非正的原始测量数据,会在重建图像中产成伪影。超低剂量下获得的原始数据明显偏离了利用pre-log数据的泊松分布(偏移的泊松分布)以及利用post-log数据的高斯分布。我们提出一种称为混合泊松高斯模型(Mixed Poisson-Gaussian,MPG)的新型SIR方法。MPG使用混合泊松高斯分布对原始的带噪声的测量值进行建模,该分布既考虑量子噪声又考虑电子噪声。MPG能够直接使用带有负值和零值的原始数据,而无需任何预处理。MPG的代价函数包含带权重的最小二乘数据拟合项,边缘保留正则化项和非负约束项。我们利用ADMM将MPG优化问题分解为几个容易求解的子问题。在ULDCT中,我们模拟3D锥束CT数据集和由临床数据生成的螺旋CT数据集进行数值实验,实验结果表明,与滤波反投影(Filtered back projection,FBP),带权重的最小二乘法(Penalized weighted least-square,PWLS)以及偏移的泊松方法(Shifted Poisson,SP)相比,所提出的MPG方法减少了重建图像中的噪声并降低了偏差。


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