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可压Navier-Stokes方程组及其相关模型的适定性研究

李浩  
【摘要】:本论文分别考虑了可压流体的Navier-Stokes方程组,以及耦合了电磁场的磁流体力学方程组和耦合了辐射场的辐射流体力学方程组.首先,我们研究二维非等熵Navier-Stokes方程组初边值问题整体强解的存在性及大时间行为.其次,对于三维等熵磁流体力学方程组的整体经典解的存在性我们给出了一个更一般的充分条件.最后,我们研究辐射流体力学方程组的Cauchy问题,包括三维常粘性系数非等熵辐射流体力学方程组局部强解的适定性以及粘性系数依赖密度的等熵辐射流体力学方程组局部经典解的适定性.本文中我们所考虑的强解和经典解都是在有限能量的框架下进行的.本文共分五章,具体内容安排如下:第一章为绪论部分,首先我们介绍所研究模型的物理背景和其相关领域的研究现状,然后给出本文的主要结论,最后给出本文中用到的一些预备知识.第二章致力于研究二维可压非等熵Navier-Stokes方程组初边值问题整体强解的适定性.在粘性系数适当大的假设下,我们证明了含真空整体强解的存在性并且建立了相应地衰减估计.我们首先建立了一个依赖于密度和温度的特殊的爆破准则,然后通过反证法获得整体强解的存在性.本文的主要困难在于密度上界的估计.由于有效粘性通量在这种情况下不满足任何边界条件,我们无法利用其较好的正则性估计来获得密度上界.我们需要充分利用初始相容性条件和边界条件的信息并利用速度场的耗散来克服这一困难.此外,在一致先验估计的基础上,我们还得到了强解的指数衰减估计.在第三章中,我们研究了三维可压等熵磁流体力学方程组的Cauchy问题.Li-Xu-Zhang[58]和Liu[72]分别在初始能量小和初始密度~∞范数与初始磁场的~3范数适当小的条件下建立了整体经典解的适定性.当初始密度的某个~()(∈[1,+∞])范数和初始磁场的某个~()(∈[2,+∞))范数适当小时,我们同样证明了整体经典解的存在性.这个结果可视为对Li-Xu-Zhang[58]和Liu[72]的推广.证明中需要采用更精细的估计来处理磁场和流场耦合项以及非线性项带来的困难.第四章考虑了可压非等熵常粘性系数的辐射流体力学方程组的Cauchy问题.由于耦合的光子输运方程是双曲型方程,使得方程组的研究变得比较困难.另外,为了弥补初始真空引起的密度正下界的缺失,我们对初始状态添加了相容性条件.在齐次Sobolev空间中,我们证明了Cauchy问题强解的局部存在唯一性.同时还建立了一个仅依赖于流场和密度梯度而不依赖于辐射场的爆破准则.在第五章中,我们考虑可压粘性系数依赖密度的等熵辐射流体力学方程组的Cauchy问题.与常粘性系数的辐射流体力学方程组相比,变粘性系数的主要困难在于速度随时间发展的退化与椭圆算子的退化.另外,辐射强度,速度和密度之间的相互强耦合也会带来困难.为此,我们需要仔细分析方程组的内在结构特点以便获得一致先验估计.需要指出的是,我们的工作是在非齐次Sobolev空间中进行的,且这里不需要初始相容性条件假设.


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