应用同伦分析方法求解流体力学中若干非线性问题

【摘要】：随着科学技术的发展，非线性方程的求解已成为广大科学工作者经常面临的问题。但构造非线性微分方程的解是既重要又困难的课题，需要灵活高效的数学工具。近年来，国内外的研究者在应用同伦分析方法来求解非线性微分方程方面做了大量的工作，获得了很多成果。本文在前人研究的基础上，一方面求解了一些在科学和工程上具有重要意义的问题；另一方面，也为丰富同伦分析方法的内容，提供一些重要的实例，以探索同伦分析方法在解决非线性问题时出现的新特点和新现象，进一步发掘同伦分析方法的潜力。 本文简要地回顾了非线性问题解析方法，并介绍了同伦分析方法的基本思想。选取了反应扩散、边界层流动等在科学和工程中都有重要意义的主题，利用同伦分析方法求解了其中一些具有代表性的问题。 首先，以一维反应扩散方程——Fisher方程作为研究对象，考察其行波解问题，分别采用顺序求解和同步求解两种方法，首次得到了包括振荡解在内的全部波速的显式行波解以及解的陡度与波速之间的定量关系，所提的方法可以作为解决具有类似形式的行波解(如冲击波，扭结波和反扭结波)的非线性方程的一般方法，同时，研究了反应扩散方程的初值问题，并通过引入新的时间变量，获得了在整个时间域内收敛的解。 其次，考察了一些典型的流动和传热问题。在第三章，研究了多孔介质中垂直平板的自然对流问题，由于采用非相似变换，在边界层近似下，控制方程仍为偏微分方程且边界条件中含有变量，应用同伦分析方法首次给出了该问题精确的级数解，其正确性得到了数值解的验证。第四章中，利用同伦分析方法，成功地获得了不可渗透平板边界层热分布问题的双解，采用渐近分析(主项平衡)法，将Pr数引入解表达的基函数，获得了在Pr值很大范围内收敛的级数解，并讨论了各物理参数对传热的影响。接下来的两章里，主要从方法的角度作了探讨。第五章，在同伦分析方法的框架内，给出了求解具有无穷多解的代数衰减边界层的一种新的方法，将解表达原则与流动本身的性质联系起来，并得出更加合理的多解产生的机理，展示了同伦分析方法解决具有多解的非线性问题的巨大潜力。第六章中，求解了二阶非牛顿流体边界层方程，由于该方程具有较高的阶数，对线性算子的选择提出了新的问题，从效率的角度对此作了讨论，给出了线性算子选择的一新的参考标准。在第七章，考察了旋转流体中的三维非定常流动，经过相似分析之后，该问题的控制方程由NS方程变为两个完全耦合的非线性偏微分方程组，利用同伦分析方法，给出了该问题在整个时间区域和空间区域内一致有效的解以及局部摩擦阻力系数的显式表达式，并将解析解与数值方法