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多项式系统的极限环分支

臧红  
【摘要】:本文讨论了几类多项式系统在多项式扰动下的极限环分支问题。对于一类具有尖点环的哈密顿系统给出了其在尖点环附近的一阶Melnikov函数的展开式。利用一阶Melnikov函数的展开式的系数研究了尖点环分支、同宿分支、双同宿分支和Hopf分支,并给出了产生极限环的充分条件。借助于焦点量的计算讨论了系统中心存在的条件并用其来判定焦点的最高阶数。该问题的研究发展了利用奇闭轨线(例如同宿,异宿,双同宿环)稳定性的改变产生极限环的办法。全文主要内容分为七章。 第一章首次给出了一类具有尖点环的Hamilton系统其一阶Melnikov函数在尖点环附近的展开式。同时首次给出了关于x轴对称的哈密顿系统存在尖点环的充分必要条件。并且针对于给出的条件,作为定理的应用讨论了尖点环附近的极限环分支。 第二、三章首先给出了一阶Melnikov函数的展开式中的系数与Lia-punov常数之间的关系,然后利用Hopf与同宿或双同宿分支中的Melnikov函数的展开式的系数研究了近哈密顿系统Hopf、同宿或双同宿分支产生的极限环的个数与分布,得到了全局分支产生极限环的一个新的充分条件。 第四章研究了一类Kukles系统的极限环的个数与分布,这里我们把所研究系统看作是三次扰动下的退化的Kukles系统。用分支理论和定性分析的方法,得到该系统可以有5个极限环且有三种不同的分布。不同于以前的工作,其中的两种分布的5个极限环都不是小振幅的。 第五章给出了只关于一个轴对称的三次哈密顿系统的分类,研究了三次哈密顿系统在三次扰动下的极限环的个数与分布。通过研究奇闭轨分支可以证明该系统有9-11个极限环并且给出了其不同的分布,其中关于11个极限环的两种分布是新的。 第六章研究了一五次哈密顿系统扰动下的极限环分支,利用定性分


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