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图的谱理论

冯立华  
【摘要】:图的谱理论是代数图论中的一个重要课题,主要涉及图的邻接谱与图的Laplacian谱的研究.其研究的主要途径是通过图的矩阵表示,利用矩阵理论,结合图论中的经典结果,以推动图论的理论研究。本文主要得到以下的结果。 在第二章中,我们主要讨论图的邻接矩阵的特征值。首先,我们给出一些图的邻接谱半径的一些新的可达上界,并说明这些新结果在一定情形下比已有的结果要好。然后,给出一个关于图的第k大特征值的一个新的上界。最后,对于有割点的图的谱半径给出一个与子图的谱半径有关的一个不等式。 在第三章中,我们考虑Brualdi,Solheid[22]提出的下面关于谱的问题:给定一个图的集合g,在这个集合中寻找一个谱半径的上界,并刻画达到这个界的图。这个问题已经有许多的结果。本章中,我们将对于给定色数,匹配数,直径的图圆满的回答了上述问题,并对Hong[69]提出的一个猜想给出了正确的解答。 在第四章中,我们将对于图的Laplacian矩阵的特征值展开研究。一般来讲,下界的估计比上界要困难的多。在前两节,我们主要研究给定树的匹配数或控制数后,具有最小的Laplacian谱半径的树的刻画。并对于一些特殊的树,我们得到了完全的刻画。最后,我们给出了给定控制数的一般图的Laplacian谱半径和代数连通度的上界。


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