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二维码
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(α,β)-几何及相关编码问题的研究

李秀丽  
【摘要】: 有限几何是组合数学中一个重要的分支,它为图论、组合设计和编码理论等方向提供了丰富的源泉。对于有限几何的研究,有着重要的理论意义和实际应用背景。有限几何的理论与方法在数理统计、运筹学、信息论和计算机科学中都有着重要的地位。(α,β)-几何是满足特定条件的关联结构,对它的研究可以追溯到1963年。1963年,Bose在研究强正则图与PBD-设计的关系时,提出了偏几何(偏几何是(α,β)-几何的一种特殊情形)的概念。目前关于偏几何的理论已经非常丰富,但关于一般的(α,β)-几何的结果却少得多。对(α,β)-几何的另一种特殊情形-半偏几何的研究,是近10年活跃在几何界的重要课题。在对(α,β)-几何的研究中,不仅发现了一些具有良好性质的关联结构,揭示了这类关联结构的本质特征,也不断创立与引入了许多新的理论与方法,而这些新的理论与方法也给其他学科方向的研究注入了活力。用有限几何研究线性码是一种行之有效的方法。在讨论线性码的最小长度界方面,有限几何是一种强有力的工具。人们也尝试着用几何结构构造好码。近年来,数学家和计算机学专家用几何结构构造了一批LDPC码。试验显示,用偏几何构造的LDPC码在最小距离,圈长,误码率等方面都有不错的表现。我们希望了解更一般的(α,β)-几何的性质,能够构造出新的几何结构,并探讨其在信息科学中的应用。本文从(α,β)-几何的嵌入、构造、应用等几个方面进行了研究。 本文的工作共分成六部分。 第一部分是概述,主要讲述了问题发展的历史和现状、采用的主要方法、面临的困难,并介绍了本文的主要工作。 第二部分讨论了(1,β)-几何在AG(3,q)中的全嵌入。证明了当q>2时,一个(1,q)-几何能够全嵌入在AG(3,q)中当且仅当它是一个线性表示,并进一步讨论了强正则的情形。另外,还给出了当2<β<q时一类全嵌入在AG(3,q)中的(1,β)-几何是线性表示的充要条件。 第三部分提出了可诱导网的强正则(1,β)-几何(β>2)的概念。刻画了一类极大可诱导网的强正则(1,β)-几何的特性。 第四部分用群论的方法构造了一类(α,β)-几何。证明了当G是Abel群时,这一理论几乎等价于对(α,β)-线汇的研究。 第五部分用半偏几何构造了一批LDPC码。试验显示,这类LDPC码性能良好。 第六部分用有限几何的方法刻画了一类线性码的最小长度界。


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