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金融市场中的时间变换方法及其应用

于栋华  
【摘要】: 价格和时间都是金融问题的基本变量,但是以往的研究中,人们只关注了第一个变量——价格,忽视了另一个变量——时间。事实上,时间也是非常重要的。它就好像是数学中的坐标系。通常人们都是在笛卡尔直角坐标系中研究问题的,但是,对某些问题人们往往更愿意采用其他的坐标系——因为坐标变换可以使问题得到简化,例如许多积分在直角坐标系下非常复杂,但是在极坐标系下却非常简单。同样的,对于金融问题,我们可以在通常的时间(不妨称为日历时间)下进行研究,也完全可以在其他的时间(不妨称为经济时间)下进行研究。这种从日历时间到经济时间的变换类似于坐标变换,称为时间变换。正如数学上要先选择好坐标系、然后才能在该坐标系中研究一条曲线的具体方程一样,在金融问题中,我们也要先选择一个合适的时间,然后再在该时间下去描述价格。只有这样才能综合考虑价格和时间。 事实上,许多经济问题中已经采用了时间变换,经济时间是现实存在的。例如,各国的月度、季度GDP数据。由于每个月份或季度的实际天数并不相同,所以对数据进行月化、季度化调整时,实际上已经采用了不同于日历时间的新时间。再如,在证券市场上,由于各个交易所一般在节假日是不工作的,人们谈论日收益率时自然的剔除了这些休市日的点,并称所得序列为交易时间序列。这里的交易时间实际上也是一种经济时间。最后,在保险中,虽然人们常常采用车龄来描述汽车的使用情况,但是更有效的变量显然是汽车的行驶路程。 对时间因素的另一个忽视表现在独立增量假设上。在该假设下的经济变量实际上是没有记忆的,或者仅仅具有有限的短期记忆,也就是说,历史对现在和将来的影响很小,可以忽略不计。但是,现实中的资产价格往往具有长记忆性,因此必须考虑历史的影响。 针对传统研究的上述缺陷,本文认为在进行定价或者风险分析时必须重视时间的作用,这可以从以下两个方面进行: (1)时间标度:所谓时间的标度问题,是指对时间的选择问题。虽然平时提到的时间指的是日历时间,但是我们应该用更广义的角度来看待时间。时间本质上是一个具有单向性的递增过程,时间的作用是为了描述系统发展的方向和速度。因此,我们完全可以选择别的时间作为研究的基础。那么到底应该如何选择合适的时间呢,不同时间下的价格过程的统计关系如何?这些问题属于时间标度问题的研究范围。 (2)时间尺度:所谓时间的尺度问题,是指在特定时间标度下,研究事件影响的历史持久性,也就是对过程记忆性的研究。直观地说,具有长记忆性意味着今天发生的一切将一直影响未来。长记忆性的存在,使得过去的历史信息和影响不再是可以忽视的,所以必须正视事件之间的历史相关性,一方面考虑为什么价格会偏离有效市场而具有长记忆性,另一方面也要考虑,既然历史相关性长期存在,那么这种相关性对定价有什么影响呢,我们又该如何去管理风险呢,是否还可以使用VaR模型呢?这些问题是时间尺度研究所应该关注的。 值得注意的是时间变换概念有广义和狭义之分。狭义的时间变换专指时间标度研究,而广义的时间变换则既包括时间标度研究也包含时间尺度研究。因为从广义角度看,任何研究都是在既定的时间下进行的,因此时间标度和时间尺度同属时间变换范畴。 本文的研究正是围绕时间标度和时间尺度这两方面展开的。其中,第三章和第四章,主要是对时间标度问题的研究,研究了相关时间变换对系统的统计性质以及相应的资产定价模型的影响;第五章和第六章,研究了时间尺度问题,讨论了资产价格为什么会偏离有效市场假设下的几何布朗运动而具有长记忆性,以及对长记忆过程应该如何来度量风险。时间变换方法作为论文的主线贯穿全文,从如何引入相关时间、到如何利用时间变换进行资产定价研究、再到时间变换对过程记忆程度的影响等等,论文详细研究了时间对定价和风险分析的重要性。结果说明,风险和记忆都是一个相对概念,都是相对于特定时间标度而言的,时间变换能够改变风险大小和记忆程度。各章的具体内容如下: 第一章,绪论,说明论文的研究背景、意义、内容和结构,指出论文的主要创新点。 第二章,国内外研究综述,概述了国内外时间变换研究的现状,指出了现有研究的不足,针对这些不足之处提出了本文的研究目的。 第三章,时间变换下的统计性质,首先引入了相关从属的定义,接着研究了相关从属的各种统计性质,最后讨论了时间变换对偏度和峰度的影响,说明了引入相关性对时间变换过程具有至关重要的作用。 第四章,时间变换与资产定价,研究了如何利用时间变换进行资产定价:首先,研究了经济时间资产定价问题,得到了类似于资本资产定价模型和套利定价模型的结果;接着,研究了随机时间下的寿险精算模型,说明了在寿险中选择合适的经济时间的必要性,给出了经济时间下相应的纯保费、生命年金和准备金模型,讨论了不同时间下相应结果之间的转换;最后,研究了采用时间变换设计汽车保险保费费率的方法,并与常规的费率设计方法进行了比较。实证和仿真研究说明在上述三个领域引入时间变换可以得到某些优良特性。 第五章,时间变换与长记忆,从两个角度分析了如何使短记忆过程转变为长记忆过程。首先,概述了分数WICK-ITO型随机积分的定义和性质。接着,讨论了不同记忆过程的组合问题,说明分散化不能消除长记忆性,提出了使短记忆过程具有长记忆性的第一种方式——因素冲击。然后,研究了时间变换对过程记忆性的影响,提出了使短记忆过程具有长记忆性的第二种方式——时间变换。最后实证分析,检验了个股和组合的长记忆性,分析了收益率的长记忆性与成交量的长记忆性的关系,验证了引入时间变换可以增加过程的长记忆程度。 第六章,长记忆风险度量,研究了在资产价格具有长记忆性时应该如何度量风险,针对分数布朗运动,提出了适用于长记忆过程的历史风险值模型(HVaR)——利用损失过程的历史信息去动态的度量风险,讨论了HVaR的计算公式、一致性、参数估计方法和扩展问题,实证研究比较了HVaR模型与VaR模型的不同,发现利用HVaR模型可以改进VaR预测的效果。 第七章,总结与展望。对全文进行总结,并对于未来的研究进行展望。 主要创新点: 1.提出“相关从属”的定义:现有的时间标度研究主要是建立在“从属”概念上的,它要求过程之间必须是独立的,但是现实中的过程往往具有相关性(如价格和成交量),因此提出了相关从属概念,并进一步讨论了特定条件相关从属过程的统计性质,主要是扩散性质,通过对偏度和峰度的讨论,说明了在从属中引入相关性是十分重要的; 2.将时间变换方法应用到了各种定价问题中:主要给出了三个方面的应用,即经济时间资产定价、寿险精算模型和汽车保险的BMS模型,现有研究一方面只讨论了非随机的线性变换下的资产定价问题,没有考虑随机时间变换,而且只讨论了单因素问题,另一方面现有研究没有涉及保险领域,本文弥补了上述不足,一方面将随机时间变换应用到资产定价中,在相关从属条件下给出了多因素结果,另一方面将随机时间变换应用到保险领域,并给出了相应的实证研究或仿真结果; 3.讨论了不同记忆过程之间的关系,将时间标度研究与时间尺度研究相结合:现有研究基本上关注的是某一具体过程的是否具有长记忆,着重的是个别的过程,没有考虑不同记忆过程之间的关系,研究对象主要是离散时间序列,并且标度和尺度研究是独立进行的,而本文以连续长记忆过程为基础,讨论了具有不同记忆过程之间的组合问题,并将时间标度研究应用于长记忆过程——使标度和尺度研究结合起来,说明了从短记忆过程转换为长记忆过程的方式; 4.提出了新的风险度量模型HVaR:在现有的风险度量模型中使用的最广泛的是VaR模型,该模型(这里指的是标准VaR模型)是建立在无条件分布上的,忽略了损失过程的历史影响,因此不适宜度量长记忆过程的风险,为此本文提出了基于损失过程的历史信息的HVaR模型,由于建立在条件分布上,因此HVaR模型可以很好的反映过去历史的冲击,适用于度量长记忆过程的风险。


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