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全局寻优的转轴试探法和截面法

王子玲  
【摘要】: 最优化问题广泛存在于科学、工程、经济、金融、军事等各个领域,因为它们常存在多个不同的局部最优解,传统的基于导数寻优的局部优化算法原则上能求出局部最优解,但不能够保证求得全局最优解。因此,近二、三十年来,全局优化理论及方法的研究已成为最优化领域的热点之一。近些年来,许多研究者相继提出了一些有潜力的全局寻优的思想及其实现方法,使得全局优化的研究不断取得进展。但是,从总体上说全局优化理论尚未形成完整的体系,算法还有待进一步完善和突破。 本文在前人研究的基础上,提出了两类新的全局寻优策略,并由此构成了相应的两种优化方法。第一种策略及方法是基于填充函数法和Rosenbrock方法。填充函数法是近年来应用较广泛的无约束全局优化策略,它把寻找全局最优解的过程分成若干个子过程,每个子过程包括两个阶段:一是用传统的局部优化方法求出局部最优解;二是用填充函数“填满”该局部最优解所在的盆谷,对填充函数作计算求得的最优解可以“跳”出该盆谷。现有多种填充函数可实现填充函数方法的全局寻优,但是,该方法也存在根本性的弊病,即所有提出的填充函数不能适应各种目标函数,而且还需要选择填充函数参数,所以,目前还没有能适应各种形式的目标函数在所有区域都能保证收敛的参数选择的理论结果及其方法。Rosenbrock方法是传统局部优化体系中属于直接类方法的一种,其策略是,依次沿个单位正交方向进行探测移动,经过若干轮探测移动,然后构造一组新的单位正交方向,确定下一步的下降方向,建立一组新的单位正交向量,而不必使用导数,方法简单直观,但搜索效率不高,而且无法实现全局优化。本文吸收并有机地融合了这两种优化思想的长处,避开它们的不足,首次提出了转轴试探策略及其算法。该策略的实现也象填充函数法那样把寻找全局最优解的过程分成若干个子过程,每个子过程包括两个阶段:一是用传统的局部优化方法求出局部最优解,二则采取按不求导数的转轴试探方法,“跳”出该局部最优解所在的盆谷。这样就能有效地从一个局部最优解转向另一个更好的局部最优解,从而实现全局最优化。 第二种方法是受隧道函数方法的启发而提出的截面方法,该方法属于间接类方法。隧道函数方法是近年来提出的另一类全局优化策略,与填充函数法类似,它也依靠传统的局部优化算法,并且采用“打隧道”的方式来“跳”出局部最优解所在的盆谷。但是,它需要对隧道函数作较复杂的优化计算来求隧道的“出口”点,增加计算的复杂度。本文提出的截面方法则用求解截面方程来代替打通“隧道”,使优化过程简捷有效,,实际是将截面方程沿坐标方向转化为一元方程求解,由于在坐标方向一元方程未必有解。因此,文中紧接着提出了改进的截面法,即将各个坐标方向沿着某个方向不断的旋转,在一定程度上可以保证求得截面方程的解。 本文的结构如下。第一章和第二章是全文的引论。第一章是对全局优化方法现状的综述,评述了若干常见的全局优化方法。第二章首先简述了常见的最优化的直接几种方法,然后介绍了填充函数方法和隧道函数方法,为后面两种方法作比较作了铺垫,其中对若干具有代表性的填充函数作了分析。 本文的主体是第三章和第四章。受填充函数法和Rosenbrock方法的启发,第三章提出了坐标试探策略,并在此基础上形成了坐标试探方法。文中给出了该方法的理论分析和具体算法,文中的大量数值实验表明,该算法是行之有效的。第四章提出了一种新的基于求解截面方程来实现优化的全局寻优策略,截面寻优策略,并在此基础上构造了截面算法,提供了具体的算法步骤,本章通过大量数值实验表明该算法在一定程度上是有效的。但是由于目标函数的复杂性,该算法受到一定的制约,文中针对其存在的问题进行了改进。 本文的工作,在一定范围内拓展了全局优化的思想策略,丰富了全局优化的方法,但理论上还尚待进一步完善。


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