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几何优化算法在液晶构型问题中的应用

宋世俊  
【摘要】: 大量实际问题,如液晶构型计算、彩色图像去噪等,可归为带约束无穷维变分问题,对它数值求解有重要的理论意义和实用价值。 本文基于液晶构型计算的一个问题,用有限元法将其离散为有限维,并在积流形上用几何优化算法求这个有限维问题的数值解。 推广到一般情况,本文的几何优化算法就是求解一个在单位球面S~(N-1) ((?)IR~N)上的极小化问题。首先,用有限元将这个极小化问题离散化;其次,证明离散化后极小化问题的最优解序列,即有限元解序列,在网格尺度趋于零时,其任何收敛子列均收敛到精确解;再次,为得到该极小化问题的有限元解,还要利用在积流形上带Armijo不精确线搜索的最速下降算法,经过多次迭代后,得到有限元解;最后,分析该最速下降算的收敛性,并给出相应的证明。算法的每个步骤都不难完成,而且迭代的序列总是满足在网格点的约束条件,并保证目标函数值单调下降。将上述各步骤程序化后,即得到几何最优化求解算法。有关数值实验说明这个算法是有效、合理的。


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