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斐波那契《计算之书》研究

马丁玲  
【摘要】: 十三世纪意大利数学家斐波那契的《计算之书》(Liber Abaci,1202初版、1228再版)是中世纪晚期欧洲重要的数学著作,在13到16世纪对欧洲算法化数学发展、商业数学革命、以及数学教育变革等方面产生了广泛的影响。但长期以来该书只有拉丁文本,加之全书以语言表述数学的形式,数学史界对此书缺乏完整而系统的研究,特别是中国学者苦于缺乏原始文献,以及阅读拉丁语的困难,只能通过一些通史性文献和原著选录中的片段进行初步研究。 本论文在完成《计算之书》英译本(2002年出版)汉语翻译的基础上,通过对《计算之书》以及相关中外文献的研读,全面分析了《计算之书》中的数学内容,对言辞模糊、表达不明的算题、算法进行深入算理分析,就其中重要的数学方法进行了认真的梳理和概括,并对《计算之书》中的数学思想、算法源流进行了初步探讨。 本论文共八章,各章要点概述如下: 第一章概述选题背景、《计算之书》研究现状,以及本论文研究内容和方法。 第二章依据《计算之书》序言、其他著作中零星描述和相关研究文献,对斐波那契时代背景、生活经历、现存著作,以及《计算之书》进行综合介绍。这些是评价斐波那契及其《计算之书》和深入研究的立足点。 第三章分析《计算之书》的数学基础,主要介绍了记数法、数的四则运算、分数概念和算法、正负数及其运算法则、以及开方法、根式运算与无理数论,所获结论如下: 1、斐波那契全面接受印度阿拉伯数字十进制位值制系统及其计算法则,为数值计算和算法设计奠定了理论基础。 2、斐波那契的分数概念和算法吸收了几个文明的特点,例如:采用阿拉伯人书写分数的习惯——整数放置于分数的右边;根据度量衡或货币换算关系来确定复合分数的进位制;分数计算第二种方法是先通分再运算;并着重研究了斐波那契如何把普通分数分解成埃及单位分数和的方法。 3、斐波那契接受了负数,给出正负数运算法则及其证明,在解答方程问题得到负数解时,给以“负债”之现实意义。虽他忽视二次方程之负数解,但考虑到16和17世纪,欧洲数学家仍认为负数是“荒谬的数”,斐波那契对负数的认识无疑具有重要的意义。 4、斐波那契对无理数的认识有赖于几何图形,“开方法”趋于算法化。第四章探讨了《计算之书》中的商业数学。本论文研究表明斐波那契多以算题引出不同算法名称(如“商议法”、“公司法”、“合金法”),并统一算法规则,选材内容与编排方式满足了商业需要,所选典型例题包含了解题所应用的公式和算法原理的叙述,从而构成商业数学的计算基础。 第五章对《计算之书》中不定分析问题展开研究。本论文通过对散布在《计算之书》各个章节中的三类不定问题进行系统梳理之后发现:《计算之书》“买鸟问题”的解法是“合金法”,此方法是用来解答三种以上钱币配置问题整数解的情况;“捡钱包问题”和“买马问题”是一次不定方程组问题,解答过程相当于现今的一次方程组问题,通常通过“消参”即可解决,在历史上没有对不定分析问题的研究产生明显影响;而“剩余问题”是以占卜猜数问题的形式呈现计算过程,虽然斐波那契没有对不定问题进行深入研究,但正是因为这些问题的趣味性,以及斐波那契某些解法的独创性而引起以后欧洲学者对此类问题的兴趣,并由此将不定分析问题研究引入欧洲。 第六章以《计算之书》第十二章“树方法”和第十三章“Elchataym算法”为主要研究对象。本论文通过对“Elchataym算法”、“树方法”算理分析、对第十三章所有算题系统研究、以及将“Elchataym算法”、“树方法”和中算之“盈不足术”比较之后认为:“Elchataym算法”不完全等同于“盈不足术”,而且认为“Elchataym”就是“契丹”的音译缺少令人信服的支持。本文通过进一步分析发现,斐波那契二类“Elchataym算法”具有不同渊源,第一类“Elchataym算法”与“树方法”具有相同的比率思想,而第二类“Elchataym算法”与中国的“盈不足术”算法一致。第一类“Elchataym算法”公式与第二类“Elchataym算法”公式具有统一性。 第七章研究《计算之书》中的代数内容。本章建立在对斐波那契《计算之书》、花拉子米《代数》、以及凯拉吉(al-Karajī)的《奇妙之事》(al-Fakhrī)中代数学比较研究基础之上,分析他们在代数技巧、代数方法有效性的证明方法、未知数设定、二次方程分类、算题选择和设置形式等方面的异同。由此得到:斐波那契和阿拉伯数学家一样是言辞性代数,都采用几何方法对代数方法进行有效性证明。斐波那契的证明方法介于花拉子米和凯拉吉之间,更倾向于凯拉吉,同样表现出对欧几里得《原本》定理的熟练应用。此外《计算之书》算题形式比《代数》更为丰富,其中有更多问题直接引自《奇妙之事》。 第八章为本论文的总结。本论文认为:《计算之书》数学内容丰富,具有多种数学文化交融,以及传播多样化等特点。斐波那契注重问题求解,以设计出尽量简单的算法求出解答为目标,利用欧几里得《原本》定理进行几何证明代数方法合理性的过程中,不追求逻辑论证的完美,而是凭藉巧妙的几何图形构造,简化计算过程,从而得到问题的解答。全书讲究算法概括,不注重命题的形式推导,体现出实用化算法化倾向。例如:来自印度的“三率法”等算术技巧和来自阿拉伯的代数学知识。在系统梳理《计算之书》数学内容过程中,笔者发现《计算之书》中存有与中国古代数学中相似的实用算题,如:追及问题、排水问题、经商问题、百鸡问题、剩余问题、不定问题等,以及和中算一致的算法:分数算法、多率法和重今有术、第二类“Elchataym算法”和盈不足术等。通过这些问题,有助于展开中国古代数学在欧洲的传播与影响的深入探索。


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