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两类双曲-抛物耦合方程组间断解得渐进分析

李铮  
【摘要】: 此博士论文主要研究两类双曲-抛物耦合方程组,热弹性力学方程组与可压Navier-Stokes方程组定解问题间断解的渐近性态。 双曲-抛物耦合型偏微分方程组中的双曲算子与抛物算子对解的性质起到各自重要的制约作用,研究间断波的传播、干扰、反射等问题具有重要的数学理论意义,也在力学、物理中有重要的背景。 本文首先研究了带第二声速的热弹性力学方程组Cauchy问题的间断解关于松弛系数趋于零时的渐近性质,得到了解的间断的传播主要由热弹性力学方程组中双曲算子来决定,弹性波与热流量函数的间断以弹性波的波速传播,其间断的强度关于时间t的变化既与介质中物理量的变化有关,也与非线性函数的增长速度有关,一般而言,它们关于时间t呈指数衰减,且热传导系数越小时衰减速率越快,同时温度的间断当t0时将很快地消失,这说明热弹性力学方程组中热传导的光滑化作用。 其次,此论文研究了带第二声速的热弹性力学方程组初边值问题的间断解,得到了间断波在边界上的反射主要由热弹性力学方程组中的双曲算子制约,热流量函数间断的传播与反射也是由弹性波决定的,在它们的传播与反射过程中,热弹性力学方程组既有双曲的现象也有抛物算子光滑化的影响。另外,不论对间断的传播还是反射而言,在介质中物理量变化的一定条件下,我们得到弹性波与热流量函数的跳跃度关于时间t→+∞呈指数增长这个十分有意义的新现象。 本论文的第三个工作主要是研究了线性化可压Navier-Stokes方程间断解的传播,通过引入松弛因子的想法,我们得到了当t0时速度场的间断将很快消失,密度的间断与速度场关于空间变量的导数的间断沿可压流的流场传播,在通常情况下,它们的跳跃度关于时间t呈指数衰减,且粘性系数越小衰减得越快;同时得到,当粘性系数固定时,速度场关于空间变量x下降得很快时,密度与速度场导数的间断强度关于时间t呈指数增长这一全新的有趣现象!


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