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随机图及对个体系统的一致性问题

尚轶伦  
【摘要】: 随着科学技术的发展进步,复杂网络作为一个新兴的多学科交叉研究领域,已取得了许多成果。除了对复杂网络的实证分析,网络拓扑结构和网络上的动力学是两个十分重要的研究课题,它们为复杂系统的分析提供了一种有效途径,对科学、工业和商业的分析、建模、控制、决策等都具有重要意义。本文以复杂网络为背景,从网络的拓扑结构和网络的同步控制两方面入手,在随机交集图、随机几何图、无线网络、多个体系统的一致性问题等方面展开研究。主要内容如下: 利用筛方法得到了主动随机交集图和被动随机交集图的度的联合概率母函数,这是迈向研究主动图和被动图相互关系的第一步。提出了一类广义随机交集图模型,其度分布依赖于两类顶点集的权重,可以产生幂率分布。由Poisson逼近中的Stein-Chen方法得到了随机交集图连通概率的双指数结果,这和经典E-R随机图的情况类似。 利用Poisson点过程的Palm理论及标号点过程的技巧,对随机扇形图进行了广泛而深入的研究,得到了出度和入度的中心极限定理,最大出度和入度的集中结果,以及固定阶导出子图和孤立子图个数的强大数定律等。对于经典的随机几何图,给出了超连通、连通、次连通极限阶段下,色数和距离色数比值的极限定理。提出了图的接入连通性概念,分析了随机区间图的接入连通性,并得到了解析的连通概率。这对因特网和无线接入网络有重要意义。得到了随机区间图2-连通概率的精确解析表达式。对移动无线网络提出了一个指数随机几何图过程模型,利用自回归过程和拉氏变换等方法研究了它的动态演化性质(连通性演化、分支个数演化等)和静态拓扑性质(连通分支、度分布、最大最近邻居距离等)。 对固定有向交互网络,证明了采用单调协议的多个体系统达到一致性的充分必要条件是网络含有生成树。给出了固定拓扑下连续时间多个体系统在有限时间达到一致性的收敛准则,提出了新的有限时间一致性协议。利用时滞随机微分方程理论,推导了带随机扰动的耦合时滞谐振子网络达到同步的充分条件。推广了随机移动邻居网络模型,利用遍历马氏链和随机稳定性理论,证明了系统达到几乎必然一致性的充分条件。研究了带有测度噪音的时变领航者一致性问题,设计了基于测度的分布式协议,通过代数图论和随机分析中的停时截断方法,分别证明了系统在固定拓扑和切换拓扑下的均方一致性条件。


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