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若干耦合非线性系统的严格解研究

刘萍  
【摘要】: 作为非线性科学最重要的分支之一,孤立子理论在上个世纪六十年代真正形成并成为非常活跃和极富魅力的研究领域。KdV方程、mKdV方程、KP方程、NLS方程等经典孤子系统不仅在量子场论、凝聚态物理、等离子体物理、流体力学和非线性光学等物理学中起着重要的作用,而且在通信、化学、地理学、大气动力学、生物学等其他科技领域里也有着广泛的应用。美中不足的是,各种模型都只是近似地描述了自然现象。相比于单变量模型,耦合模型能更为全面准确地描述物理现象。这一优势推动了耦合模型的相关研究,对它的分析求解也日益为人们所重视。本文讨论了若干耦合非线性模型的严格解问题。 本文第二章研究了耦合位移浅水波系统的构造和求解问题。最近,钟万勰院士和姚征博士运用变分原理,构造了1+1维位移浅水波系统(1DDSWWS),并且发现它比KdV方程更适合描述1+1维浅水波。通过考虑流体在三维空间上的能量,我们将1DDSWWS进行推广,建立了耦合2+1维位移浅水波系统(2DDSWWS)。与传统的2+1维浅水波模型KP方程相比,2DDSWWS具有如下两个优点:(一)KP方程的孤子解在x方向和y方向上的运动是不对称的,并且在x方向上仅仅能朝一个方向运动(x正方向或x负方向),而2DDSWWS孤立波在x方向和y方向上是对称的,可以朝任意方向运动;(二)在流体力学里推导KP方程时,流体的竖直速度完全被忽略了,而本文推导2DDSWWS时考虑了竖直速度的影响。由此可以相信,2DDSWWS比KP方程更适合描述2+1维浅水波和其它某些物理现象。运用多重尺度展开,我们发现2DDSWWS在弱二维长波近似下可以退化成KP方程。计算显示,2DDSWWS具有时空平移不变性,它的严格解可以用一个椭圆积分来表示,这个椭圆积分在一定条件下可以退化成椭圆函数和孤立波解。 由于计算机科学的发展和实际微观物理系统的离散性,离散可积模型的研究逐渐成为国际可积模型研究的新热点。本文第三章研究了两个可积耦合离散模型的严格解。研究的第一个离散模型是离散耦合KdV-mKdV方程。发现一个所谓的“离散mKdV方程”也可连续化成KdV方程,因此可称它为“离散KdV-mKdV方程”。将离散KdV-mKdV方程进行拓广可建立一个耦合离散系统,我们发现这个耦合离散系统是离散耦合KdV-mKdV系统,证明了它的Lax可积性,列出了它的三种类型的严格解。我们研究的另一个离散模型是耦合Volterra系统。发现耦合Volterra系统是离散耦合KdV系统,而且具有Lax可积性,得到了它的椭圆周期波和孤立波等重要的局域激发模式。同时,我们探讨了离散系统的对称性,提出了寻找离散系统点李对称的”对称方程法”概念。这个方法只需利用原始方程和对称方程的约束,不需要用到对称生成元算子的延拓就可以更为简便地找到系统的对称。在实践中我们把离散变量和连续变量结合起来考虑,客观上也简化了离散方程的对称求解过程。这两个离散耦合系统的连续极限可以用来描述两层流体系统,也可以用来描述玻色-爱恩斯坦凝聚等等实际物理问题。 自然灾害对生态环境和人类社会造成的破坏越来越大,当前灾害性天气相关问题成为一个严峻的话题。大气重力波由于对天气和气候有密切影响,因而成为大气科学研究的一个重要内容。本文第四章研究了大气重力波模型耦合非线性Schr¨odinger(CNLS)方程的Painlev′e性质、对称性和严格解,并将这些结果应用于探讨大气重力波的产生和传输的特性。发现CNLS方程具有Galilean变换不变性、标度变换不变性、相平移不变性和时空平移不变性,并且当参数满足某些限制条件时,CNLS方程变成Painlev′e可积模型。通过约化手段,不仅得到了CNLS方程的约化方程和相似解,而且求出了若干严格解。运用函数展开法,求出了CNLS方程的20组包络Jacobi椭圆周期解。我们讨论了周期形式纬向背景风条件下的重力波传输特性,并画出了扰动流函数、风场纬向扰动速度和垂直扰动速度的时空演化图。 本论文的创新性成果在于: (1)将分析力学与流体力学相结合,建立了2+1维位移浅水波模型来描述2+1维浅水波。发现2DDSWWS比KP方程更适合描述2+1维浅水波并更接近物理事实,在弱二维长波近似下它可退化成KP方程,给出了它的严格解。 (2)发现“离散mKdV方程”同时也是离散KdV方程。建立了两个可积耦合离散模型,证明了它们的可积性,得到并研究了它们的严格解。讨论了离散系统的对称性,提出了更为简便地寻找离散系统点李对称的“对称方程法”概念。 (3)将孤子理论应用于大气科学,研究了大气重力波模型CNLS方程的Painlev′e性质、对称性和严格解,并探讨了大气重力波的产生和传输机制。


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