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非相似边界层方程的同伦级数解

Nabeela Kousar  
【摘要】: 1.研究内容、目的和意意义义 边界层理论自1904年由普朗特提出以来,已成为流体力学的经典研究领域,在过去的一个多世纪里获得了长足的进展。这主要是由于这种流动广泛存在于许多与流体相关的科学与工程应用领域里。边界层是物体表面一层薄薄的流体,其中有很大的速度梯度,以至于即使对于粘性系数很小的流体,粘性力也不能忽略。边界层在许多流动场合中存在,比如自来水管中的流动、明渠流动、地面附近的大气流动、建筑物壁面上的流动、汽车或机翼绕流等。在船舶工程中,船舶的粘性阻力的计算、边界层控制与减阻等应用均与边界层有关。边界层理论解决了高雷诺数流动中如果忽略粘性采用势流理论来计算物体在流体中的受力情况时,会得到物体所遭受的阻力为零这一与事实相矛盾的结论。引入边界层近似之后,对于像水和空气这种粘性很小的流体,粘性对流动的影响只限于物面附近的边界层中。边界层以外的流动可以按理想流体流动处理。对于边界层内这部分粘性流动,由于它在几何上的特点为一薄层流体流动,可以把Navier-Stokes方程简化为边界层微分方程,从而使许多重要的实际问题可以得到比较满意的解答。 普朗特提出边界层概念之后,在1908年Blasius应用它来求解顺流放置的半无限长平板上的层流边界层获得了成功。这也是成功应用边界层理论的第一个重要实例。在平板边界层流动中,由于假设平板为半无限长,整个流动问题中找不到一个x方向的特征长度,因此可以设想在任一x值处的流速分布图形都是互相相似的。相似性解是边界层研究中的一个非常重要的概念。当边界层方程具有相似性解时,其流速u(x,y)的分布具有如下性质:如果把任意x断面的流速分布图形u~y的坐标用有关尺度因素均化为无量纲坐标,则任意x断面处无量纲的流速分布图形均相同。当边界层微分方程式存在相似性解时,可以把偏微分方程化为常微分方程,从而带来数学上很大的简化。从数学上来看,相似解即是利用微分方程的对称性所做的相似约化。 然而,相似解的存在是有条件的。比如边界条件的引入应该不能破坏相似性,这等于给边界条件设定了一些限制,即只有在某些特殊的边界条件下才存在相似解。比如平板边界层流动,只有当外部势流流速U与xm成比例时,边界层方程才具有相似解。实际的许多流动很难满足这样的条件,因此,客观上说,相似边界层流动是很有限的,绝大多数的边界层流动是非相似的。即相似是特殊情况,非相似是一般情况。在非相似情况下,流动的控制方程仍然为偏微分方程,在数学处理上面临极大的困难。正是由于这个原因,许多边界层研究都只是限于一些特殊情况下的相似流动。但是,正因为非相似流动是普遍情形,我们更应该关注非相似现象的研究。这也是本论文的研究动机之一。 承上所述,边界层近似是N-S方程在大雷诺数情况下的一种近似解。通过边界层近似,N-S方程中的一些项被忽略,方程得到简化,从而使许多实际的工程问题(除平板绕流外,还有绕楔角流动、驻点流动、射流等)能得到比较满意的解答。但是,边界层近似并未改变上述方程的非线性性质。边界层方程的求解在数学上仍然存在很大的困难。正是由于这一原因,数值方法成为边界层方程求解的主要方法。但是数值方法也有其局限性,例如,难于处理无穷域问题、不容易发现多解、难以分析各种参数的物理影响等等,因此,仍有必要发展边界层方程的解析方法。 匹配渐近展开法是应用得较多的解析方法之一。但该方法的具有依赖于某个小参数、且高阶近似的收敛性无法保障、低阶近似精度不高等缺点。因此,发展新的边界层解析方法就成为必要。 为了克服这些困难和不足,廖世俊教授于1992年发展了一种新的非线性分析方法――同伦分析方法(Homotopy Analysis Method,HAM)。该方法不依赖于某个小参数,并且所获得的近似级数解的收敛性可以通过引入的辅助参数来控制和调节。同伦分析方法在解的基函数表达、线性算子和初始解的选取上具有很大的灵活性。合理地选取这些要素,能够进一步增强解级数的收敛性,从而能够以较低的阶数获得高精度近似。同伦分析方法已经在许多非线性边界层问题上获得了成功,如边界层传热传质、非定常边界层问题、边界层多解问题等。在非线性振动问题、非线性波动问题、波流相互作用问题、金融数学中的美式看跌期权等问题上也获得了成功的应用。这些都表明了同伦分析方法处理非线性问题的有效性和巨大潜力。 本论文将应用同伦分析方法求解非相似边界层流动。非相似边界层方程一般都是偏微分方程。因此本论文以非相似边界层的偏微分方程为例,给出同伦分析方法求解偏微分方程的一些思路,对完善同伦分析方法具有很强的理论意义,也为流体力学中的许多其他的偏微分方程的求解提供借鉴。 综上所述,本论文的研究目的是两方面的。首先在物理上,由于许多边界层流动本质上是非相似的,因此本论文对非相似现象的研究,将会极大地开拓边界层理论的应用范围。论文首次提供的非相似边界层流动在整个时间域、空间域内一致有效的解析近似解能够帮助我们更好地理解非相似现象的物理本质。其次在数学上,我们以非相似边界层问题为对象,研究非线性、非定常偏微分方程的解析近似解法,这既是对同伦分析方法的完善,也为非线性偏微分方程的求解提供了新的思路和应用。论文的研究既具有很强的理论意义,又具有较高的应用价值。 2.论文的主要工作 论文的第1章对边界层理论和同伦分析方法作了简单介绍。论文的主要工作在第2、3、4章中展开。其中第2章求解了绕楔形体的定.常.非.相.似.边界层流动。第3章求解了突然拉伸平板上的非.定.常.非.相.似.边界层流动。第4章求解了垂直板上的定.常.非.相.似.对.流.传.热.耦.合.问题。 2.1绕楔楔形形体的非相似边界层流动 第2章研究绕楔角的定常非相似边界层流动。楔角壁面上允许流体的进出。自由来流和壁面上的流速假定为幂率分布。我们应用同伦分析方法求得了该问题的解析近似解,并讨论了各种物理参数对表面摩擦系数和边界层位移厚度的影响。 绕楔角边界层流动最早由Falkner和Skan在上世纪30年代提出。通过相似变换,他们得到现在称为Falkner-Skan的常微分方程。这里我们考虑定常的非相似的Falkner-Skan方程。其非相似性是由壁面流体的进出引起的。在边界层假定下,问题的控制方程为 并满足如下边界条件y = 0 : u = 0, v = Vw(x) = b xn; y→∞: u = U∞(x) = a xm, (0.0.3)这里u和v分别为沿流向及其垂直方向上的流速,ν为流体的运动粘性系数。Vw(x) =bxn为流体抽出(b 0)或注入(b 0)速度, U∞(x) = axm表示外部流速, a 0为任意常数, m与楔角πθ的关系为m =θ/(2 ?θ)。引进流函数和如下的G¨ortler变换:将控制方程变为如下的非相似边界层方程这里β(ξ)定义为边界条件为其中γ= ?√2a?κ?1/2b[ν(m + 1)]κ?1/2,κ= (m + 1)?1[n ? (m ? 1)/2]均为常数。注意到当U∞(x) = axm时,β变成常数2m/(m + 1)。这里,γ为注入/抽出参数,b∈R,a 0,κ定义壁面流速指数n和楔角参数m之间的关系。需要指出的是γ= 0为相似解存在的必要条件。 我们应用同伦分析方法求解该问题。同伦方法基于这样的思路,即将所考虑的非线性问题的解与一个参数q联系起来,即构造这样的函数Φ(ξ,η;q),使得当q从0渐变至1时,Φ(ξ,η;q)从一个初始解f0(ξ,η)渐变至所考虑非线性问题的解f(ξ,η)。为达到这一目的,可构造如下的同伦:满足边界条件这里L为辅助线性算子,N[Φ(ξ,η;q)]与原方程具有相同的形式,只是所有f(ξ,η)均以Φ(ξ,η;q)代替。从上述构造的同伦方程,我们可以看到,当q = 0时,同伦方程的解为当q = 1时,同伦方程与原方程相同,这样就有这样从初始解至最终解的渐变就通过同伦方程联系起来了。 假定这种随q的渐变过程足够光滑,可以将Φ(ξ,η;q)展开成关于q的Maclaurin级数:这里如果该级数在q = 1时收敛,就有这样,如果我们能够求得Maclaurin级数的各阶系数,利用上式,就能得到f(ξ,η)的以级数表达的解析近似解。 各阶系数的控制方程可通过将所构造的同伦对参数q在q = 0处求导数的方式获得。这样我们就得到如下的各阶系数的控制方程边界条件可同样处理,得到这里且有注意到上述所得的方程为线性方程,因此同伦分析方法就将一个非线性问题转化为了一系列的线性问题。 从上述过程可以看到,同伦分析方法中有辅助线性算子和初始解的选取等问题。一般来讲,同伦分析方法根据物理问题的特点,将方程的解以一个合适的基函数来表达,辅助线性算子和初始解等都依据基函数来确定。同伦分析方法提供了一定的自由度来进行线性算子、基本解和初始解等的选取。本问题中f(ξ,η)可由如下的基函数表达为其中akm,n均为待定系数。根据这个解表达和边界条件,我们选取如下的初始解线性算子参考解表达取如下注意到这个线性算子仅含关于η的导数,这样我们就将原始的非线性PDE转换为一系列的线性的ODE。显然求解ODE比解PDE要容易得多。而且,可以看到,该辅助线性算子与原始方程中的线性算子并没有直接的联系。 记线性方程的特解为其中L?1表示L的逆算子.这样线性方程的解为这里常数C1,C2由边界条件确定,常数C3根据无穷远处条件应为零。上述过程借助于Mathematica等符号计算工具很容易实施。 同伦分析方法给出的是级数形式的近似解,它的收敛性是个关键问题。注意到,我们所得的级数解中含有参数和b,在解表达中有参数λ,它们对解的收敛性有影响。为简单起见,我们取b =。合理选取和λ,可以控制和调节级数的收敛性。我们以γ= 0,β= 1情况为例,来讨论这两个参数的选取。γ= 0即为Falkner-Skan研究过的壁面无流体进出的相似边界层问题。我们可以先固定其中的一个参数,让另外一个参数变化,考查可变参数对级数解的收敛性的影响。首先,将设定为-1,考察λ对解的影响。通过绘制f (ξ,0)随λ的变化曲线来达到这一目的。我们发现当λ≥5,级数f (ξ,0)收敛到同一值。其次,固定λ= 5,考察的影响。通过方程的平方余量误差来分析。我们发现取= ?1时余量最小。我们同时还应用了同伦-培德技术来对解级数的收敛性进行了改进,发现当= ?1,λ= 5时,我们的结果与Hartree的数值结果吻合良好,见表2.1。 对γ= 1(即流体有抽出的非相似情形)可作同样的收敛性分析。图2.2表明当λ 5时,即使对大的ξ也能得到收敛的结果。图2.3表明了对余量误差的影响。图2.4中,取λ= 5, = ?1就能得到在整个0≤ξ∞,0≤η∞(相应于0≤x ∞,0≤y ∞)内都收敛的解。而且可以看到,20阶和25阶的结果与8阶、12阶的同伦-培德近似吻合很好。表2.2表明,余量误差随着近似阶数的增加而减小。这说明我们的结果是收敛的。 在物理上我们感兴趣的是局部壁面摩擦系数和边界层位移厚度。它们与壁面流体进出速度的关系尤为重要。图2.5和2.6给出了壁面流速分布κ= 1/2 (κ与壁面流速分布中的指数n有关)、β= 1时壁面摩擦系数和位移厚度随注入/抽出参数γ的变化关系,其中fηη(ξ,0)是与摩擦系数有关的量。可以看到,流体注入会增加边界层厚度,减小壁面摩擦。流体抽出会减小边界层厚度,增加壁面摩擦。图中还表明了非相似解在κ 0,ξ→0时趋近于相似解。 图2.7和2.8给出了另外一种壁面流速分布κ= ?1/4、β= 1情况下的壁面摩擦系数和位移厚度随注入/抽出参数γ的变化关系。可以看出同样的依赖关系。但是,在κ 0的情况下,非相似解却是在ξ→∞时趋近于相似解。 参数β对局部壁面摩擦系数和边界层厚度的影响示于图2.9和图2.10中。可以看到,γ 0时,当β从0至2变化时,壁面摩擦系数增加,位移厚度减小。γ 0时,流体注入的效果是使得边界层厚度增加,壁面摩擦减小。 2.2突然拉伸平板上的非定常非相似边界层流动 边界层流动的非定常行为也是人们极为感兴趣的。摄动方法是研究非定常边界层流动的主要方法,但是摄动方法所得的解只在小时间段或长时间之后有效,而没有在整个时间域内都一致有效的解析解。因此,第3章应用同伦分析方法研究非定常边界层流动,目的是获得在整个时间和空间域内都有效的解析近似解,并分析边界层流动的非定常行为。 拉伸平板上的边界层流动在各种生产过程中存在。如玻璃纤维的制造,高分子材料的成型等过程中。Sakiadis最早研究了静止流体中的拉伸平板上的流动,以后许多学者又研究了不同情形下拉伸平板上的边界层流动。廖世俊教授应用同伦分析方法研究了拉伸平板上的定常非相似边界层流动。这里,我们进一步研究其非定常行为。 问题的控制方程为满足如下的边界条件和初始条件上式表明当t 0时,板和流体都处于静止状态。在t = 0时刻,平板突然以速度u = Uw(x)拉伸。 引进如下的流函数和变换:则控制方程变为其中边界条件变为相似解只对某些特殊的Uw(x)存在。当相似解存在时,系统的控制方程就由耦合的偏微分方程变为常微分方程。根据G¨orteler的研究,相似解是否存在由下述函数判定如果Λ(x)为常数,则存在相似解。但实际上我们可以给出任意多的速度Uw(x)不满足这个条件,这样一般我们就只能得到非相似解。 本文考虑如下的平板拉伸速度Uw = x/(1 + x),即拉伸速度从0单调地增至1。该速度分布下,只能得到非相似解。注意到当x趋近于0时, Uw~x,而当x→+∞时,Uw→1。因此物理上,在x = 0附近,流动渐近于Uw = x时的相似解,而在x→+∞处,流动渐近于Uw = 1时的相似解。对Uw = x和Uw = 1的相似流动,相似变量分别为y/√νζ和y/√νζx。因此根据变量η的定义,我们取σ(x) =√1 + x,这样当x→0时,我们就有η→y/√νζ,当x→+∞时有η→y/√νζx。为简明起见,我们定义这样我们就有可以看到在ξ= 0(相应于τ= 0)时,上述方程简化为Rayleigh型的方程其精确解可由误差函数给出。另一方面,当ζ= 1时,即τ→∞,我们得到方程此即对应于稳态时的定常非相似流动。 本文的目标是应用同伦分析方法求0 ζ 1时的解。以如下的基函数将解表达为根据边界条件,选取初始解为和线性算子同伦分析方法的具体实施过程详见第3章,这里不再赘述。 如前所述,同伦级数解的收敛性强烈地依赖于参数的选取。该参数的选取可以通过所谓-曲线或者令平方余量最小的方式获得。定义如下的平方余量误差令我们就能得到最优的取值。该值将给出原方程的最小余量误差。 图3.1表明,参数取值在[-3/2,0]之间可以得到收敛的级数解。因此我们可以在该区间内给取值,以得到在整个0≤ζ 1, 0≤ξ 1, 0≤η∞(对应于0≤τ∞,0≤x ∞, 0≤y ∞)内都收敛的级数解。表3.1表明, = ?1/2时,随着近似阶数的增加,方程的余量误差逐渐减小,这说明级数解是收敛的。我们还应用同伦-培德技术来加速级数解的收敛性。图3.2将ζ= 0(即τ= 0),并取= ?1/2时的15阶同伦级数解和[2,2]同伦-培德近似解与精确解作了比较,发现它们在整个0≤ξ 1,0≤η∞的空间域内都吻合很好。还可以考察与局部表面摩擦系数Cf有关的f (ξ,0,0)的值。我们还发现,在ξ= 1时,我们的解给出f (ξ,0,0) = ?ξ/√π,它恰与ξ= 1时的非定常相似流动的精确解吻合。因此,应用同伦分析方法,我们可以得到突然拉伸平板上的非定常非相似边界层方程在整个时间域和空间域内都一致有效的完全解析的近似解。 我们发现,对定常的相似流动,局部表面摩擦系数在x→0时为?2√ν/x,在x→∞时为?0.8875ν/x。定常相似流动的边界层厚度在Uw(x) = x时为√ν,在Uw(x) =1为1.61613√νx。从图3.3和图3.4中可以看到本文给出的同伦级数解在τ= 10和= ?1/2时与Uw(x) = x及Uw(x) = 1时的定常相似解吻合良好。图3.3和图3.4中还给出了最终稳态(ζ= 1)时的表面摩擦系数和边界层厚度的计算结果。可以看到我们的完全非定常非相似边界层方程的解在τ= 10时与ζ= 1时的定常解吻合良好。这些均证明了我们的方法的有效性。 图3.5给出了表面摩擦系数随τ的非定常变化。可以看到,随着时间的增加,表面摩擦系数降低。由于突然拉伸的原因,表面摩擦在拉伸的初始阶段ζ= 0(τ→0)有很大的值。但随着时间的推移,它逐渐减小,最终达到稳定状态ζ= 1(τ→∞)。边界层厚度随时间的演变行为则恰恰相反,示于图3.6中。 2.3等热环境下可透垂直平板上的非相似自然对流传热 非相似热边界层可有多种原因导致。最常见的原因是速度边界层的非相似性。另外,即使速度边界层是相似的,热边界层也可能是非相似的。这可由平板表面温度分布、表面热通量和流场内热源等的非相似性引起。 第4章研究了可透等热垂直平板上的非相似自然对流传热问题。问题的控制方程为这里我们已经应用了边界层近似,并引进了Boussinesq假定,即温度的变化只在浮力项中才是重要的。边界条件为 通过无因次化、引入流函数和非相似变换等过程,可以得到如下的偏微分方程满足如下的条件其中γ= ?√2a(Gr)14 Pr,撇号表示对η的微分。n为壁面流体进出速度幂率分布的幂次指标,γ通过常数a与壁面流速Vw(x)关联。当a为负(即流体抽出)时,γ 0,而当a为正(即流体注入)时,γ 0。采用如下的基函数将解表达为这里λ 0是一个待定参数。根据边界条件,选用如下的初始解线性算子选取如下 详细的同伦分析方法求解过程见第4章,在此不赘述。这里我们只讨论计算结果所揭示的物理现象。图4.4给出了普朗特数Pr对平板热传导的影响。可以看到局部Nusselt数随Pr的增加而增加。这是由于Pr数较高的流体,有相对较低的热导系数,因此热边界层的厚度较薄,导致表面热传导率增加。另一方面,图4.5显示局部表面摩擦系数却随Pr数的增加而减小。实际上,高Pr数的流体意味着流体的粘性更大,因此增加了边界层厚度,减小了剪切应力。从图4.4和图4.5上还可看到,相似解在ξ→0和ξ→∞时存在。当0.5≤ξ≤10时流动是非相似的。因此,对所有Pr数,非相似流动在ξ→0和ξ→∞区域都趋向于相似解。 图4.6和4.7给出了壁面流体出入对局部Nusselt数的影响。可以看到,流体抽出时的板面传热率较流体注入时的高。这是由于流体抽出使得表面剪切应力增加,使得局部Nusselt数增加。图4.8和图4.9给出了对于水(Pr = 7)和空气(Pr = 0.72)两种流体,壁面流体的出入对壁面摩擦系数的影响。可以看到,低Pr时,流体的抽出使壁面摩擦增加,而高Pr数时,流体抽出则使壁面摩擦减小。流体注入的效果则相反。这同样是由于高Pr数下,流体更粘,边界层更厚的原因所致。 3.论文的创新点 ?本论文首次研究了非相似变换在边界层流体力学中的应用。首先求解了多孔楔形体周围的粘性非相似边界层绕流。给出了对所有参数,在整个域内都有效的级数解。我们发现壁面流体抽出减小了边界层厚度,增加了剪应力。壁面流体注入增加了边界层厚度,减小了剪应力。当β从0至2变化时,摩擦系数增加,边界层位移厚度减小。还发现,非相似流动在ξ→0,κ 0或ξ→∞,κ 0的情况下,趋近于相似流动。 ?首次给出了突然拉伸平板上的非定常、非相似边界层流动的解析近似解。我们应用不同于Williams和Rhyne的时间尺度变换,这种变换能够避免奇异性的对数函数ln(1 ?ξ)出现。所得的级数解对所有时间和在整个流场内均有效。我们发现,定常相似流动的局部表面摩擦系数当x→0时为?2√ν/x,当x→∞时为?0.8875ν/x。定常相似流动的边界层厚度当Uw(x) = x时为√ν,当Uw(x) = 1时为1.61613√νx。同伦级数解在τ= 10和= ?1/2时与Uw(x) = x和Uw(x) = 1时的定常相似解吻合良好。而且所得的完全非定常、非相似的边界层解在τ= 10时与ζ= 1时的定常解吻合良好。 ?应用同伦分析方法解析求解了等热环境下可穿透竖直板上的层流自然对流非相似边界层流动和热传导问题。分析了流体注入(或抽出)参数γ、普朗特数Pr等对流动和传热的影响。观察到对Pr = 0.72(空气)和Pr = 7(水)的两种流体来说,流体的抽出能增加局部Nusselt数。而流体注入的影响则相反。普朗特数Pr的增加,将导致表面摩擦系数的降低,但局部Nusselt数则会增加。相似解在ξ≤0.5或ξ≥10时存在。在0.5≤ξ≤10范围内,对所有普朗特数Pr和注入(或抽出)参数γ来说,解是不相似的。 数学上来讲,非相似边界层流动的控制方程是非线性的偏微分方程。然而,通过HAM方法,这种非线性偏微分方程可以转化成一系列的容易求解的线性常微分方程。从物理上解释,主要是由于在这种边界层流动中,流动横剖面上的变化远较沿流向方向上的变化大。因此,可以将非线性偏微分方程转化为线性常微分方程求解。这种方法也可以被用来求解其他的非相似边界层流动。由于船舶或机翼等的粘性阻力的计算、边界层控制与减阻等均与边界层有关,因此本论文的研究成果可望在这些领域获得应用。


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1 黄碧波;边界层方程在传热传质复合自然对流时的使用范围及偏差[D];四川大学;2002年
2 谭瑾;绕回转体厚边界层的理论分析计算[D];华中科技大学;2004年
3 朱平民;优化同伦分析法及其应用[D];湘潭大学;2011年
4 李龙华;非线性偏微分方程的同伦近似解[D];大连理工大学;2010年
5 李金卫;结构动力学的矩阵同伦摄动分析[D];吉林大学;2011年
6 张大彭;同伦法在共沸物预测中的应用[D];天津大学;2004年
7 姚占林;两类非线性偏微分方程的近似解[D];华南理工大学;2011年
8 钱有华;关于同伦正则态射及其应用[D];浙江师范大学;2004年
9 李阳;同伦摄动方法在求解非线性微分方程中的应用[D];东北石油大学;2011年
10 李红军;一类普朗特边界层方程逼近解的初步探讨[D];太原理工大学;2003年
中国重要报纸全文数据库 前10条
1 刘钝;庞加莱猜想可能被证明了[N];光明日报;2004年
2 张磷;伦敦桥与翻译[N];中华读书报;2003年
3 黄嵘;沪铜慢跑给“中国需求”打问号[N];上海证券报;2007年
4 草北;内弱外强总关“锌”[N];中国有色金属报;2006年
5 孙德成 车兆娟 张竹青;地雷战的故事[N];中国档案报;2004年
6 严恒元;纳斯达克梦断欧洲[N];经济日报;2003年
7 ;海阳地雷战[N];人民日报;2007年
8 黄嵘;一季度国内铜进口量增长58%[N];上海证券报;2007年
9 深圳报业集团 李亚男 秦小艳 蔡佩琼 彭蓓 万红金;以感恩之心延续大爱回报社会[N];深圳特区报;2009年
10 姬建军;中国烹协火锅烹饪专业委员会成立[N];中国食品质量报;2005年
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