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自然Hamilton系统的连接轨道和拓扑熵

刘飞  
【摘要】: 本文主要研究有限维完备Riemann流形上自然Hamilton系统异宿轨道的存在性、构形流形的Jacobi度量和具有正拓扑熵的Liouville可积自然Hamilton系统的存在性。 第一部分主要研究自然Hamilton系统异宿轨道的存在性。Rabinowitz在文献[Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 6(1989),331-346]中,研究了欧氏空间二阶自治Hamilton系统异宿轨道的存在性,其证明方法强烈地依赖系统自治这个条件。2007年,Izydorek和Janczewska在[J.Diff. Eqns.238(2007),381-393]中提出新的方法将Rabinowitz的结果推广到非自治的情形。 我们将研究Riemann流形(M,g)上非自治自然Hamilton系统其中(gij)n×n是Riemann度量g=(gij)n×n的逆矩阵,(p,q)是M的余切丛T*M的局部坐标。利用变分法和临界点理论,借助Hilbert空间中弱收敛与强收敛的联系和测地线的性质,在一定的条件下,我们证明了该系统存在异宿轨道。这项工作从两个方面推广和改进了Rabi-nowitz和Izydorek-Janczewska的工作:1.将构形空间从Rn推广到一般的Riemann流形;2.很多常见的自然Hamilton系统,Rabinowitz和Izydorek-Janczewska的结果无法适用,而我们的结果却可以应用。 第二部分主要研究具有正拓扑熵的自然Hamilton系统的构形流形的几何性质。考虑Riemann流形(M,g)上的自治自然Hamilton系统其中M=S1×N,S1是一维环(同胚于圆周),N是一紧致无边流形。Bolotin和Rabinowitz在[J. Diff. Eqns.148(1998),364-387]中证明:在一定的条件下,存在δ0,使得对所有h∈(0,δ),上述Hamilton系统在等势面{H(p,q)= h}上具有正拓扑熵。 在他们工作的基础上,我们证明:如果Hamilton流在{H(p,q)= h}上遍历,或者N的基本群具有次指数增长率,则新的Riemann流形(M, (h-V)g)不是非正曲率流形,其中V≤0。我们的结果表明通过自然Hamilton系统的拓扑熵可以部分地了解其构形流形的几何性质。 第三部分主要研究具有正拓扑熵的Liouville可积自然Hamilton系统的存在性。拓扑熵是刻画系统复杂性的量。以前人们猜测光滑Liou-ville可积Hamilton系统的拓扑熵是零。2000年Bolsinov和Taimanov在[Invent. Math.140(2000),639-650]中构造了第一个具有正拓扑熵的光滑Liouville可积测地流的例子。但具有正拓扑熵的光滑Liouville可积自然Hamilton系统的例子一直没有给出。 利用环面双曲自同构和基本群的性质,我们在一有限维Riemann流形上构造了一个光滑Liouville可积的自然Hamilton系统,且其在等势面{H(p,q)= b}上具有正拓扑熵,其中b∈(a,∞),a是某实数。据我们所知,这是第一个带势能且具有正拓扑熵的光滑Liouville可积自然Hamilton系统的例子。


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