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若干非线性方程的对称性研究及其应用

贾曼  
【摘要】: 本文以对称方法为基本工具,围绕着对称的基本理论及相关问题,研究了流体力学中的一些重要非线性方程,并给出了方程的新严格解及其在实际物理问题中的应用. 第一章简要介绍了对称理论的发展背景和研究现状,对本文中相关的概念做了解释和说明,同时概括了本文的主要研究内容. 第二章利用CK直接法讨论了耦合KdV方程,给出了方程的相似约化和群论解释,并对约化后的方程采用ARS法做了P性质分析,给出了耦合KdV方程几种可积情况. 第三章把对称理论和摄动理论相结合,讨论了带有小参数微扰的扰动NLS方程的近似对称和近似相似约化.虽然该方法在处理带有小参数扰动的方程时是有效的,但由于约化后的方程仍旧较为复杂,没有给出扰动NLS方程的级数解. 第四章利用对称和守恒律的关系,讨论了(2+1)维KP方程和KMV对称相关的2阶守恒律.结果表明,KP方程具有无穷多的守恒律,该守恒律也是具有和KP方程一样的对称的方程族的共同性质.本文中所得到的守恒律包含两个六维任意函数和一个四维任意函数,具有丰富的内涵,一个对称可以对应无穷多守恒律,因此无穷多守恒律不一定对应可积性;多项式微分系统存在非多项式型的无穷多守恒律;具有相同对称的方程具有相同的无穷多守恒律. 第五章首先简单介绍了双线性NKP方程,然后采用修正的CK直接法,先得到了双线性NKP方程的对称群,随后利用简单的取极限的过程,得到了方程的对称及其代数结构.研究发现,双线性NKP方程的对称构成了无穷维KMV代数结构. 第六章利用Lax可积系统的对称群理论,讨论了流体力学中的重要方程Euler方程,给出了(2+1)维Euler方程的时空变换群,并利用时空变换群给出了方程的Darboux变换,同时利用变换群推导出Euler的严格解.Euler方程的严格解具有丰富的结构,包括环流解和涡流解等.我们把该严格解应用到台风或飓风的拟合和预报上,给出了飓风Katrina 2005的拟合情况和台风Neoguri2008的预报. 第七章对全文做了总结和回顾,概括了本文中的主要研究方法和结论,并对未来的工作方向做了展望.


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