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Hilbert空间非线性优化问题之迭代方法

王丰辉  
【摘要】:本文旨在运用不动点理论的相关技巧来研究Hilbert空间中诸如极大单调算子零点问题、单调型变分不等式和不动点问题、分裂可行问题和分裂公共不动点问题等非线性优化问题.全文共分五章. 第一章主要介绍一些基本概念及研究背景.第一节中给出了极大单调算子的零点问题和求解该问题的经典临近点算法.另外简单回顾了关于非线性算子不动点的存在性和逼近理论.第二节中总结了单调算子和极大单调算子的一些重要性质.第三节中总结了非扩张算子、固定非扩张算子和均值算子的一些重要性质. 第二章主要研究两个单调算子和的零点问题.第一节介绍了求解零点问题的前向-倒向算法.第二节研究了Combettes提出的带误差项的松弛前向-倒向算法:xn+1=(1-αn)xn+αnJrn(xn-rnAXn)+en,并改进了使该算法弱收敛的充分条件:∑|rn+1—rn|∞,∑‖en‖∞,0limrn≤2k,0≤αn≤4k/2k+rn,∑αn(4k/2k+rn-αn)=∞第三节主要致力于修正前向-倒向该算法使之能产生强收敛的迭代序列.根据Haplem迭代思想引入了下列修正算法:xn+1=αnx0+(1-αn)Jrn(xn一rnAxn)+en,并证明了上述算法强收敛的充分条件是:limαn=0,∑αn=∞,lim│rn+1-rn│=0,∑‖en‖∞,0 lim inf rn≤lim sup rn2k根据Haugazeau迭代思想引入了另一个修正的前向-倒向分裂算法,并证明了该算法强收敛到零点问题的一个解.第四节讨论了上述结果在临近点算法、单调型变分不等式和凸约束极值问题中的应用. 第三章主要研究单调型变分不等式和不动点的公共解问题.第一节回顾了关于求解公共解问题的一些已有的算法.第二节研究了当A是反强单调算子的情形.给出了使算法xn+1=(1-αn)xn+αnSPC(xn-rnAXn)弱收敛的一个新的充分条件:∑αn(1-αn)=∞;∑|rn+1-rn|∞,01im rn2κ.第三节研究了当4是Lipschitz连续单调算子的情形.受曾的算法启发,构造了一种新的外梯度投影算法来求解公共问题.新算法中关于步长的选取遵循了Armijo规则,从而避免了计算Lipschitz系数.第四节讨论了上述算法在求解严格伪压缩和非扩张算子的公共不动点问题以及伪压缩算子和非扩张算子的公共不动点问题中的应用. 第四章主要研究分裂公共不动点问题和分裂可行问题.第一节介绍了求解分裂可行问题的CQ算法.由于CQ算法在无穷维空间中通常只有弱收敛,根据阻尼投影方法,在第二节中提出了一类修正的CQ算法,并证明了该算法强收敛到分裂可行问题的极小范数解.第三节构造了一类新的求解分裂可行问题的算法.该算法的优点是步长的选取不再依赖于算子A的范数.而且为保证该算法的全局收敛性仅需假设分裂可行问题有非空的解集.第四节讨论了当分裂可行问题中的凸集是水平集的情形.根据前一节构造的算法以及曾的外梯度投影方法,构造了两类求解该问题的松弛投影方法.最后一节引入一类循环算法xn+1=U[n][xn+rA*(T[n]-I)Axn],[n]=n mod p,来求解分裂公共不动点问题.它的优点是当p=s=1时,该类循环算法可以退化为求解分裂可行问题的CO算法 第五章主要针对前面提出的一些算法进行数值试验.研究了CQ算法中松弛因子对算法收敛速度的影响.试验表明当松弛因子是超松弛的时候,相应的收敛速度比较快.另外分析了变步长CQ算法与固定步长CQ算法的收敛速度.结果表明变步长CQ算法具有较快的收敛速度.


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