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算子代数上的导子、中心化子及相关映射的刻画

郭剑斌  
【摘要】:算子代数是现代数学的一个重要分支,为了探讨算子代数的结构,近年来国内外许多学者致力于研究算子代数上的映射,取得了丰富的成果,并且总结了许多的方法和技巧.本文将在已有结果的基础上,讨论算子代数上的某些映射.我们所讨论的映射包括:导子,Jordan导子,高导子,中心化子,Lie导子,结合Hochschild 2-循环的映射;我们所讨论的算子代数包括:Banach代数和一些非自伴的自反代数. 本文分为六个章节,第一章主要回顾了一下国内外的学者所取得的一些重要成果,同时介绍一下本文所涉及的基本概念. 在第二章中,我们研究高导子和Jordan高导子,证明CSL代数上的Jordan高导子是高导子.我们还证明CSL代数上在0点高可导,并且满足对所有n≥1,δn(Ⅰ)=0的有界线性映射,或者在单位点处高可导的线性映射是高导子.同时我们研究单位代数A上的线性映射D=(δi)i∈N,其满足以下条件:证明在一定的条件下D=(δi)i∈N是高导子. 受到Vukman所定义的(m,n)-Jordan中心化子的启发,在第三章中,我们考虑单位代数上的映射在B取I和A时的特殊情况,我们把前者称之为(m,n,l)-Jordan中心化子,把后者称之为(m,n,l)-Jordan三重中心化子.我们研究这两种映射的一些性质,并且证明在一定的条件下,半素环和一些自反代数上的(m,n,l)-Jordan中心化子和(m,n,l)-Jordan三重中心化子是中心化子. 在第四章中,我们所讨论的代数称为广义矩阵代数这类代数包含了上三角代数.我们研究广义矩阵代数上Lie导子的局部性质,证明在0点和IA⊕0处Lie可导的线性映射是标准的Lie导子. 在第五章中,我们研究结合Hochschild2-循环的广义导子,这种广义导子是由Nakajima引入的.我们讨论结合Hochschild2-循环广义导子的性质,证明Banach代数上在分离点处结合Hochschild 2-循环广义可导的映射是结合Hochschild 2-循环广义Jordan导子.我们还研究结合Hochschild 2-循环广义Jordan导子的局部性质,证明在一定的条件下CSL代数上在0点处结合Hochschild 2-循环广义Jordan可导的线性映射是结合Hochschild 2-循环广义导子. 在第六章中,我们对本文做了一个总结,并且提出了几个我们想要解决但尚未解决的问题.


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