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算子代数上一些映射的刻画

沈其骅  
【摘要】:本文讨论了算子代数上的一些映射.这些映射包括:导子,Jordan导子,高导子,Jordan高导子,Lie导子,Lie高导子,Lie三重导子,中心化子和结合Hochschild 2-循环的映射;所讨论的算子代数主要包括:套代数,J-子空间格代数,CSL代数,完全分配格代数,三角代数和广义矩阵代数. 本文分为七个章节.第一章主要介绍了本文的研究背景,回顾了国内外学者在此之前的研究进展和所取得的一些重要成果,同时介绍了本文所涉及的基本概念. 在第二章中,我们首先利用Peirce分解研究了一般双边模上Jordan可导映射的结构,并且刻画了相应的Jordan全可导点.然后我们将此结果推广到了Jordan高导子的情形,同时找到了(Jordan)全可导点与(Jordan)高全可导点之间的内在联系,即零特征域上的代数A中的某一点是(Jordan)全可导点当且仅当它是(Jordan)高全可导点.最后我们证明了B(X)中的满足V{x:x(?)f∈A}=x和八{ker(f):x(?)f∈A}=(0)的范数闭子代数A上的每个Jordan高导子是有界的.作为此章节主要定理的一个重要推论,我们有对于Banach空间X上的套N及相应套代数algN,如果存在非平凡的幂等元P∈algN使得ran(P)∈N,那么每一C∈algN都是L(algN,B(x))的Jordan全可导点,且同时是algN的Jordan高全可导点. 在第三章中,我们先讨论了三角代数上的Lie高导子,证明了在一定条件下三角代数上的Lie高导子是标准的.其次我们刻画了三角代数上的Lie三重导子,给出了三角代数上Lie三重导子是标准的充要条件. 设A是数域F上的单位代数.A上的线性映射δ称作是广义(m,n,l)一Jordan中心化子,如果对任意A∈A,其中m≥0,n≥0,l≥0是固定的整数满足m+n+l≠0.在第四章中,我们研究广义矩阵代数和一些自反代数alg(?)上的广义(m,n,l)一Jordan中心化子,其中(?)是CSL,或者满足V{L:L∈J((?))}=X或八{L_:L∈J((?))}=(0),并且证明了当m+l≥1和n+l≥1时,这些代数上的广义(m,n,l)一Jordan中心化子是中心化子. 设A是单位代数,δ是A上的线性映射,m,n是固定的整数满足m≠0.我们称δ在C处(m,n)-可导,如果对任意满足AB=C的A,B∈A,有mδ(AB)+n6(BA)=mδ(A)B+mAδ(B)+nδ(B)4+nBδ(A)成立.上述定义包含了在某点处可导,Jordan可导及Lie可导的情形.在第五章中,我们研究了广义矩阵代数上0(或IA(?)0,I)点处(m,n)-可导的映射δ,并证明了根据m和n的不同取值,δ是导子,Jordan导子或Lie导子.我们还证明了CSL代数上的映射δ如果在0点处(m,n)-可导并且是连续的,其中m+n≠0,则δ是导子. 在第六章中,我们讨论了上三角矩阵代数Tn(R)上的结合Hochschild 2-循环广义(Jordan)导子,并证明了从Tn(R)到其双边模的结合Hochschild 2-循环广义Jordan导子是结合Hochschild 2-循环广义导子与反导子的和. 在第七章中,我们对全文进行了总结和概括,同时提出了一些我们想要解决但还尚未解决的问题.


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