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几类随机生物模型的动力学研究

周艳丽  
【摘要】:近年来,将随机分析的相关理论用于生态系统的研究正成为热门的研究领域之一.与确定性动力系统相比较,随机动力系统中的随机噪声能够更好地刻画实际问题中存在的不确定性现象.这些随机噪声的存在经常会影响系统的动力学行为,有时甚至会起到决定性的作用,使其行为发生根本性的改变,基于这一点,对随机生态模型的研究成为一项非常重要而有意义的工作.因此,我们需要深入地讨论随机噪声对生态模型动力学行为的影响,使理论模型更好的用于实践.本文主要研究了具有Brown白噪声影响的传染病模型和时滞传染病模型的动力学行为,分析了 Levy跳过程对随机种群模型动力学行为的影响.本文共分六章:第一章是绪论部分,主要介绍了课题背景、意义、国内外研究现状以及一些相关的基本概念、性质和定理.第二、三、四、五章是本文的主要研究内容.。第二章主要研究了具有非线性传染率的确定性SIRS传染病模型和相应的随机传染病模型.对于确定性模型,我们通过构造Lyapunov函数找到了判断疾病是否流行的阈值,即基本再生数R_0.当R_0≤1时,疾病将会消失;当R_01时,疾病持续存在形成"地方病".对于随机模型的研究,主要结论如下:1、利用Lyapunov泛函方法证明了随机模型全局正解的存在性;2、当R_0≤1时,利用多维It6公式、Young不等式等证明了随机传染病模型解的p阶矩指数稳定和几乎必然指数稳定;3、当R_01时,找到模型解的随机渐近行为和疾病平均持续存在的条件,并利用局部鞅和强大数定律证明了强噪声可以导致疾病灭绝.第三章进一步讨论了多个参数受到随机干扰的随机SIS传染病模型的动力学行为.本章证明了模型具有唯一的全局正解,并对模型的长期渐近行为进行了讨论.当基本再生数R_0≤1且满足一定的条件时,随机模型的解会围绕着相应确定性模型的无病平衡点进行扰动,且扰动幅度的大小与噪声强度有关;当基本再生数R_01时,我们利用扩散过程理论和Has'millskii给出的定理证明了平稳分布的存在性.当噪声强度大到一定程度时,随机噪声就会对随机SIS传染病模型的长期行为起到决定性作用,即导致疾病绝灭,这种影响与基本再生数的大小无关.第四章讨论了具有接种和非线性传染率的确定性SIS模型,通过特征根、变量代换、Lyapunov泛函等方法分别证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性.对于相应的随机时滞SIS传染病模型,在证明了随机时滞模型存在全局唯一正解的基础上,通过线性化方法研究了非时滞随机SIS传染病模型的均方指数稳定性和依概率稳定性,并将所得结论平行推广到含有时滞的随机模型.结果显示:白噪声对于非时滞随机模型的线性系统有一定的干扰作用;而当白噪声强度比较小时,随机时滞SIS传染病模型依然具有均方指数稳定性和依概率稳定性,即强度较小的噪声没能改变传染病模型的长期动力学行为.第五章研究了Levy跳对随机Holling-Tanner捕食与被捕食模型的影响.这种跳可以理解为海啸、地震、大规模的传染病等产生的突发的且随机很强的干扰.本章首先证明该模型在全局唯一正解的存在性,说明了跳过程能阻止方程的解在有限时间内爆炸的可能.然后,结合随机比较定理和鞅论等知识找到了种群在时间均值意义下持续存在和随机灭亡的充分条件.这些结论说明Levy跳对种群的持久性和灭绝性具有显著性的影响,甚至可以使种群的长期动力学行为发生根本性改变.最后,通过数值模拟直观地验证了Levy跳对种群的影响.最后一章总结全文和对未来工作的展望.


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