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基于奇异摄动理论的马尔可夫机制转换波动模型下的期权定价

孙钰  
【摘要】:期权作为一种重要的金融衍生证券,于70年代中期首先在美国出现。30多年来它作为一种金融创新工具及防范风险和投机的有效手段,得到了迅猛发展。但是期权的价格很难从市场中直接反映或获得,因此期权定价问题一直都是金融数学所关心的一个重要问题。Black-Scholes期权定价模型是期权定价的核心和基础,自从其建立以来,一直被认为是衍生定价和风险管理的有力工具。但是长期以来,无论是实证研究还是理论分析都已经发现和证明了Black-Scholes期权定价模型中常数波动率不能很好的描述市场的运动,这就指导我们建立和分析动态波动率模型。 事实上,波动率是随机的,它是股票价格和时间的函数,这可以解释隐含波动率“微笑曲线”和“偏斜效应”。本文通过对金融衍市场、金融衍生品以及股票市场的运行、特征的分析,也证明了Black-Scholes期权定价模型不能很好的反映期权的实际价格。因此本文分析了具有随机波动率的期权定价模型,对Black-Scholes模型进行修正,并且建立了马尔可夫机制转换波动模型。由于波动率的随机性和不可观测性,所以随机波动率模型下的显示解很难得到,因此本文运用奇异摄动理论、双时标思想以及渐近展开方法对期权定价进行研究。具体在以下五个方面的研究成果比较突出: 第一,在分析期权定价理论中的风险中性定价理论和无套利理论基础上对Black-Scholes模型的结构、结果进行分析,认为经典Black-Scholes模型不能精确地反映出期权的价格。为此本文讨论了几种不同的波动率模型,在对随机波动率模型分析的基础上,分析了具有均值回复特点的随机波动率模型。由于控制单个股票走向的一个主要因素是整体股票市场的走向,因此有必要让股票的这个主要参数来反映股票市场的运动。股票市场机制能够反映出根本的经济状态、市场中投资者的心态以及其它一些经济因素。假设市场机制(模式)的转换是有限状态的,则简单来说,股票参数依赖于市场机制(模式)的模型称为机制转换模型。我们用马尔可夫链来表示这种机制转换,比如一个具有两状态的马尔可夫链,其状态空间为{0,1),可以用来描述市场模式(机制)在“牛市”和“熊市”两种机制下的转换。由于马尔可夫机制转换随机波动模型能够很好的模拟由于一些事件或者政策变动引起的机制变化,因此,我们将有限状态马尔可夫链引入到波动率模型中来更好的描述股票市场波动过程中的机制变换问题。通过对模型进行设计和构建,建立了马尔可夫机制转换期权定价模型。 第二,本文通过对摄动理论、奇异摄动方法和双时标方法进行分析,将其应用到期权价格的波动率模型中来描述波动率“微笑曲线”;通过将过程分为慢变和快变两部分来讨论,从而将“微笑曲线”复杂的系统简化为两个子系统研究,对理论研究和证明提供了明确、清晰的研究思路和方法。 第三,表面上看来期权价格显式解的计算好像应该是很快且精确的,但事实上,由于波动率的随机性和不可观测性,不能得到期权价格的精确解,因此,只能通过数值方法得到其近似值。通常这个计算采用数值积分方法或者是采用逼近的方法来得到。本文利用了奇异摄动理论和双时标方法,将其引入到机制转换扩散模型中对期权价格进行渐近扩展,运用严格的数学推导得到并证明了展开式的零阶项即为一般Black-Scholes模型价格的渐近值,而高阶项可以看作是其修正项,从而得到更精确的期权定价,在此基础上证明了渐近值与真实价格之间的误差估计为无穷小量,即近似值是期权定价的很好的逼近。 最后,在以上理论研究的基础之上,通过数值试验来说明本文的马尔可夫机制转换波动率模型可以更好的刻画波动率“微笑效应”,并得到很好的试验结果。本文还对SP 500指数进行实证研究,分别用Black-Scholes模型、一般的波动率模型及本文提出的具有马尔可夫机制转换模型下得到的期权价格与期权真实价格进行比较,得到本文的机制转换模型与真实价格的误差较小的结论。因此数值试验和实证研究也证明本文的模型能更好的刻画市场运动,并得到较精确的期权定价。


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