几类非线性演化方程的整体适定性和无穷维动力系统研究

【摘要】：在这篇博士学位论文中,我们主要研究了几类非线性演化系统解的整体适定性和无穷维动力系统,得到了一些应用模型中有意义的结果。本文共分为八章： 第一章是引言,主要介绍了一些非线性演化方程的整体适定性和无穷维动力系统的基本理论。 第二章研究了3维Boussinesq方程组的爆破准则,给出了解在Lorentz空间和Besov空间中的爆破条件。 第三章考察了一类非线性非齐次、以及半线性热弹Breese系统的整体解的存在性,利用半群方法,验证了方程的耗散结构,得到了解的整体存在性,推广了刘庄毅和饶博鹏[63]的结果。 第四章利用弱收敛方法和精细的参数选取,得到了3维非自治Navier-Stokes-Voight方程一致吸引子的存在性,当外力项与时间无关时,所得一致吸引子就是整体吸引子,即包含了Titi [53]的结果。本章的创新之处是：(1)怎样在空间H1和H2中来估计非线性对流项((u·V)u,u)和((u·▽)u,△u),(2)如何构造弱连续。 第五章通过证明解过程的拉回渐近紧性,首次得出了3维非自治Navier-Stokes-Voight方程拉回吸引子的存在性,主要难点和创新点是：(1)怎样利用参数选取来找到吸收球的存在性,(2)：如何来估计含参数的非线性对流项((u·▽)u,u)和((u·▽)u,△u)。 第六章讨论了带有奇异震荡外力fε(0ε1)的3维非自治Navier-Stokes-Voight方程,在奇异外力项fε(0ε1)随着ε趋于0而收敛到f0时,我们给出了一致吸引子Aε(不依赖于小参数ε)的一致有界性,证明了相应一致吸引子的收敛性。其中验证相应吸引子的收敛性是本章的难点和创新点。 第第七章利用一些精细的估计和参数的选取,给出了3维非自治Benjamin-Bona-Mahony方程在H2空间中拉回吸引子的存在性,改进了Park [80]的结果。 第八章总结了本文的主要工作,并对未来的研究方向作了展望。