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几类非线性双曲抛物耦合演化方程组整体适定性的研究

刘欣  
【摘要】:在本论文中,我们主要研究了几类非线性双曲抛物耦合的演化方程组解的整体适定性,得到了一些有理论价值的结果。本文共分为六章: 第一章是引言,主要介绍了所研究问题的相关背景和研究现状,以及整体适定性的基本概念和所需要的一些常用引理。 在第二章,我们主要研究了具有大初值的非线性可压缩理想磁流体力学方程组解的正则性。利用嵌入定理和一系列精细的插值不等式,我们得到了解在Hi(i=2,4)空间上的整体存在性。 在第三章,我们主要研究了带辐射的非线性可压缩磁流体力学方程组解得整体适定性。通过能量方法和先验估计,在克服高温辐射项所带来的困难后,我们得到了该系统解的整体存在性和指数稳定性。本章的难点为:(1)如何得到系统比容的一致有界性:(2)如何克服高温辐射项所带来的困难。本章得创新之处为:我们引入适当的参数,得到了比容的恰当的表达式,并通过精细的先验估计,克服了高温辐射项的所带来的困难,建立了比容正的下界和上界。 在第四章,我们得到了一类非线性非牛顿流体力学方程组解的整体存在性和指数稳定性。本章的难点是:(1)在证明系统比容的一致估计时,如何降低热传导系数非线性地依赖温度梯度时对系统的影响,(2)怎样导出合适的先验估计。本章的创新点为:我们通过利用P次的二项不等式,将热传导系数化为两部分来进行研究,从而克服了其非线性地依赖于温度梯度的困难。 在第五章,我们研究了一类具有二声的非线性热弹方程组。在本章中,我们利用多乘子技巧和能量扰动方法,构造了合适的能量泛函和Lyapunov泛函,得到了其解的整体存在性和指数稳定性。 在第六章,我们总结了本文的工作,并对未来的研究作了展望。


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