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无穷水平倒向随机微分方程解的性质

甄鑫  
【摘要】: 自从Pardoux和Peng提出倒向随机微分方程以来,倒向随机微分方程的理论已得到长足的发展。倒向随机微分方程是研究金融数学的重要的基础性工具,并且对研究以期权期货为代表的现代金融产品具有重要的作用和意义;在偏微分方程,随机偏微分方程,随机微分几何以及非线性数学期望等问题上有重要应用。 1990年Pardoux和Peng[1]得到经典的倒向随机微分方程:在g为一致Lipschitz时,该方程存在唯一的适应解。从此许多专家致力于倒向随机微分方程的研究,做了大量的工作,取得了丰硕的成果[2-10]。 1994年Pardoux和Peng[11]又提出了倒向双重随机微分方程(简记BDSDE):这里dB_t是倒向It(?)积分,dW_t是标准正向It(?)积分,证明了当f,g满足一致Lipschitz时解的存在唯一性,并将结果应用于偏微分方程的研究。从此,关于倒向双重随机微分方程的研究也较多,例如文[12-16]。 目前倒向随机微分方程解的性质研究成果都是在有限时间区间下进行的,当终端T=∞时,即无穷区间上的倒向双重随机微分方程的研究也具有重要的意义。遵循[6]的方法,[17]研究了以下无穷区间上的BDSDE:此处g与z独立,在Lipschitz条件下证明了解的存在唯一性。 由于无穷区间水平下直接运用It(?)公式的困难性,相对于有限区间上的倒向随机微分方程,无穷水平条件下,非Lipschitz连续方程解的性质研究较为困难,并且Lipschitz连续条件下结果也不丰富,因此本文主要工作是在系数为Lipschitz连续条件下,研究了无穷水平下倒向随机微分方程的一些性质。 首先当g与z独立时,在Lipschitz条件下,证明了方程解的比较定理。其次当g与z不独立时,给出了一种Lipschitz条件,通过有限区间逼近,运用It(?)公式,证明了方程解的存在唯一性及比较定理。


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