非线性演化系统整体适定性研究

【摘要】： 许多重要的物理、力学学科,其基本的数学模型都是偏微分方程。偏微分方程是数学中最为活跃的分支之一,是数学和物理中很多内容的基础,有助于人们从微观到宏观对物质运动规律进行认识,自然科学的基本规律的精确数学表达式大都是微分方程。本文探讨了一类具有深刻物理意义的Navier-Stokes方程和热、粘弹方程,我们使用了一些新的技巧、思想和方法。研究了这些系统的解的整体存在性、自相似解和整体能量的爆破、解的内正则性、能量的指数衰减问题和系统的一致紧吸引子问题。 概括地讲,我们分别研究了以下问题: ●在第二章中,我们研究了一维粘性多方理想气体可压Navier-Stokes系统的自相似解问题和整体能量爆破的问题。研究结果表明:对于一维粘性多方理想气体可压Navier-Stokes系统,在有限整体能量的条件下既不存在向前也不存在向后的自相似解。这个结果推广了Z.Guo和S.Jiang在等温可压Navier-Stokes系统情况中的结果。 ●在第三章中,我们就一类三维双曲系统进行讨论和研究,该类三维双曲系统是产生于Green-Naghdi模型的Ⅱ型热弹系统,并具有记忆项的耗散边界作为置换条件。在其线性非齐次问题的解的存在性和能量的指数衰减性问题得到解决的基础上。我们建立了其解的一些整体存在性结果。我们在该章中运用了半群的方法,就一类半线性和非线性热弹系统进行讨论,进一步的,我们证明了其解的整体存在性。 ●在第四章中我们讨论了一类耗散弹性系统能量的指数衰减性,我们采用多乘子技巧和能量方法来讨论其局部边界受到微小扰动的多维耗散非齐次各向异性弹性系统能量的指数衰减问题。在适当的假设下,证明了该类模型能量的指数衰减性。 ●在第五章中,我们运用解析半群的性质来研究一类含有两个参数的算子的一维非线性非自治粘弹性系统的整体解的正则性、指数稳定性以及一致紧吸引子的存在性,证明了该类系统整体解的正则性及其指数稳定性,并证明了由整体解生成的一致紧吸引子的存在性。