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基于分数阶微分方程的HIV感染动力学建模及其分析

叶海平  
【摘要】: 自80年代早期首例艾滋病被报道以来,众多学者在HIV感染动力学的建模上花费了大量的心血。涉及HIV感染(或HIV与免疫系统相互作用)动力学的数学模型不迟于1986年被提出,且该疾病一直成为建模的热点。然而,至今为止,所有的数学模型均被局限于整数阶的微分方程。 随着分数阶微分方程的快速发展,很多数学家以及应用领域中的研究者正在尝试着用分数阶微分方程建模。分数阶微分方程与分形密切相关,而分形富含于生物系统中。研究表明,在传统的整数阶方程不能建模的现象中,分数阶方程为此提供了可能性。这儿,我们特别强调的是,分数阶与整数阶模型最大区别在于分数阶模型拥有记忆,而免疫反应的主要特征恰恰包含记忆。因此,我们首次尝试建立HIV感染与免疫系统相互作用的分数阶动力学模型。 首先,论文给出了具奇异性的广义Gronwall不等式。利用该不等式,讨论了分数阶微分方程的解关于初值和阶数的连续依赖性问题。指出在一定条件下,初值和阶数的微小变化仅仅引起解的微小改变,为分数阶模型的数值模拟奠定了理论基础。 其次,针对分数阶HIV感染模型,只有在非负解或正解存在的情况下所建的模型才符合实际意义,因而讨论了分数阶常(时滞)微分方程正解的存在性问题,获得了正解存在性和唯一性的充分条件。 接着,将分数阶引入HIV感染CD4~+T细胞的模型。证明了所建立的分数阶HIV感染模型如理想中的种群动力学模型一样拥有非负解,且解存在唯一。获得了感染平衡点存在对每个感染细胞释放病毒粒子数所需的限制条件。在此限制条件下,所建立的分数阶系统存在唯一一个正平衡点——感染平衡点。利用分数解微分系统的稳定性分析工具,获得了感染平衡点稳定对参数要求的充分条件。数值模拟证实了所给分析。 紧接着,提出一个具CTL免疫反应和频率依赖的分数阶HIV模型。数学上,揭示了分数阶微分系统的阶数如何影响系统的动力学性态。对单一病毒模型,得到在某个限制条件下,该分数阶系统有一个内部平衡点。通过应用分数阶系统的稳定性分析工具,获得了内部平衡点稳定的充分条件。分析展示了在经典的整数阶模型中不稳定的内部平衡点,在分数阶模型中可变得渐近稳定。对具病毒多样性的模型,频率依赖的分数阶模型中会出现奇异混沌吸引子。也就是,病毒多样性和频率依赖导致免疫系统的瘫痪并使得系统动力学的性态复杂化。但是,随着阶数的某一个或更多分量值的减小,混沌性可能消失且分数阶系统稳定到一个定点。 再接着,定性地研究了具免疫反应和治疗控制的分数阶HIV模型。指出所建立的分数阶模型拥有唯一的非负解,详细分析了平衡点的存在性和局部渐近稳定性,建立了无病平衡点全局渐近稳定的充分条件,并获得了从感染HIV的个体中清除HIV所需的抗逆转录病毒治疗的最优疗效。 进一步,将最优控制理论应用于HIV感染动力学的建模中。选用使病毒载量和感染的T辅助细胞最小且使抗HIV的药物剂量最小的性能指标,求解分数阶系统的最优控制问题,在数学上表明了最优治疗的结果。 最后,对全文研究内容进行了总结,指出研究工作中存在的不足,明确了下一步的研究方向。


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