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特殊矩阵若干问题的研究

赵琳琳  
【摘要】:随着特殊矩阵在数值分析、优化理论、自动控制、系统辨识、工程计算等领域的广泛应用,特殊矩阵及其上的矩阵方程求解问题已成为矩阵论和数值代数的热点问题,并得到越来越多的关注.本文主要研究了特殊及特殊矩阵类上矩阵方程的求解问题、特殊矩阵的逆特征值问题、部分矩阵逆的填充问题等.具体内容如下: (1)定义了一类新的矩阵:(P,Q)正交对称矩阵,利用它与对称矩阵之间的关系以及子空间投影理论,得到了(P,Q)正交对称矩阵类上矩阵方程ATXB=C的最小二乘解、最小二乘最佳逼近解、最小二乘极小范数解的表达式与算例. (2)利用特殊矩阵的结构特性以及子空间的基方法,研究了结构动力模型KX=MX∧的Hermite-Hamilton矩阵和子矩阵约束下对称矩阵的逆特征值问题与最佳逼近问题,得到了问题可解的条件和解的表示. (3)借助于矩阵广义逆及相关投影,在文[55,87]的基础上,讨论了特殊矩阵方程AX+XTB=C和AXB+CXTD=E的可解性问题,得到了若干可解条件;研究了算子方程AX+X*B=C的可解性;给出了在相位约束下矩阵方程AX=B的极小范数最小二乘解. (4)利用二次多项式根与系数的关系以及二次多项式函数的性质,给出了两特殊矩阵等能量的充要条件. (5)得到了下面两类填充问题可解的充要条件, (a)给定A=±A*∈Cm×m,B=±B*∈Cp×p,C∈Cm×p,求X∈Cm×p使得 (b)给定A∈Cn×m,B∈Cm×q,C∈Cp×m,G1∈Cm×p,G2∈Cq×n,G3∈Cn×m,其中n+p=m+q,求X∈Cp×q使得 从而解决了文[93]提出的相关问题.另外,据我们所知,在A-1存在,D-CA-1B为非零奇异矩阵的条件下,给出分块矩阵的Drazin表示仍是一个公开问题.本文利用Drazin的反序律,给出了上述问题MD存在的条件及其表示,并得到了在秩等式约束下MD的一些表达式. (6)利用特征值分布的Brualdi定理,给出了两个非负矩阵Hadamard积谱半径的新估计,解决了文[75]提出的问题.


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