同伦分析方法的推广及其实现

【摘要】：随着科学的进步与发展,越来越多的问题开始用非线性微分方程来描述.人们迫切需要对这些微分方程进行精确定量分析.近几十年来,特别是随着高性能计算机的发展和符号计算系统的出现,推动了对微分方程解析近似解的研究,出现了如摄动法,Adomian分解法,同伦分析法等一大批优秀的解析近似求解算法. 同伦分析法是近年来发展出的一种优秀算法.由于其统一了人工小参数法,δ展开法和Adomian分解法等各种非摄动方法,并在此基础上提供了一个控制和调节解级数收敛速度和收敛区域的简便途径,使其成功解决了许多强非线性问题. 本文以同伦分析法为研究对象,给出了一个构造Rm公式的条件.从而使得同伦分析法对Rm的构造拥有了一定的自由,为寻找最佳Rm计算公式提供了可能.同时,本文利用Rach对Adomian多项式的研究,将其构造方法推广到同伦分析法上,给出了几个新的Rm计算公式,并证明了其将获得更多的展开项.实验也表明,在某些情况下,使用这些新公式将比原方法获得更满意的解析近似解. 本文的第二个工作是对同伦分析方法进行了计算机实现.我们在Maple平台上研发了一个软件包,它集成了之前定义的几种Rm新算法.利用它能求解常微分、偏微分方程和方程组,以及某些特殊类型的方程,如带有待定参数的振动方程和分数阶微分方程等.该软件包采用模块化的编程思想,用户可以在此基础上进一步定制其中的函数,扩充其功能.