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一类脉冲微分方程的渐近解

郑艳  
【摘要】:脉冲现象作为一种瞬时突变现象,在现代科技各领域的实际问题中普遍存在,其数学模型往往归结为脉冲微分系统.因此,脉冲微分方程成了近年来发展起来的微分方程的一个重要分支.目前,大多数学者对脉冲微分方程解的存在唯一性、稳定性等作了很多研究.但至今还无人关注在脉冲点这一间断点处的性质.鉴于此,笔者希望构造光滑连续的渐近解来逼近脉冲解,为进一步揭示脉冲现象提供新途径. 本文针对仅含单个脉冲点的脉冲微分方程,通过分步法,将其分成左右两个问题.基于奇摄动理论,将右问题扩充成含有无穷大初值的奇摄动问题.根据边界层函数法,构造了该扩充问题的形式渐近解,证明了解的存在性,进行了余项估计,并且证明了由左问题和扩充问题构成的在整个区间上的连续的解是原脉冲问题解的很好的逼近. 随后,我们将改进解的性质,让它从连续逼近到光滑逼近原脉冲微分方程的解.仍针对仅含单个脉冲点的脉冲微分方程,将其扩充成一个二阶奇摄动问题,这个扩充问题又可以分成左右两个含无穷大初值的奇摄动问题进行讨论,借助分段函数,利用边界层函数法,分别构造了左右问题的形式渐近解,得到了形式渐近解的一致有效性.由于左右问题在脉冲点处形成了类似于空间对照结构中的内部层解,我们利用“缝接法”证明了解的存在性,并且证明了扩充问题所得到的在整个定义区间上光滑的解是原脉冲问题解的很好的近似.在理论分析的最后,都附以具体的例子来说明所作的工作.


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