非线性微分方程解析近似解的自动推导研究

【摘要】：在自然科学的诸多领域,许多现象都可以通过非线性方程来描述,因此求解非线性微分方程的解析解以及解析近似解是广大科学工作者的重要研究方向之一.本文将结合著名数学家吴文俊的数学机械化思想和Rach归纳提出的关于Adomian多项式的四种新算法,并以计算机代数系统Maple为工作平台研究非线性定解系统解析近似解的机械化算法及其实现.本文主要内容包括如下三部分： 第一部分介绍了与本文有关的研究背景,简要回顾了非线性微分方程解析近似解研究的发展历程,并针对性的综述了国内外在求解解析近似解方面的成果和发展状况. 第二部分介绍了构造非线性微分方程解析近似解的ADM-Pade新算法.该部分从Adomian分解法的基本原理出发,利用Adomian多项式的新定义算法改进了构造非线性方程的Adomian多项式算法的关键步骤,在一定程度上解决了因冗余项急剧增加引起的中间表达式急剧膨胀问题.然而Adomian级数解精度不高,只在相当有限的范围内收敛性好,超出收敛域误差增加很快,针对这一难点,我们将Pade近似技术嵌入到Adomian分解算法中,提出了一个改进的Adomian-Pade算法,从而进一步扩大了解的收敛域并提高了解的精度. 第三部分以计算机代数系统Maple为软件平台开发了非线性微分方程解析近似解的自动推导软件包NAPA. NAPA软件包的用户界面很友好,只要按要求正确输入单个非线性微分方程的接口参数,该软件包就能自动推导出该方程较满意的解析近似解,另外,该软件包还可以将有些结果以图示的方式直观给出.同时该部分也详细介绍了软件包NAPA的接口和各个主要子模块的功能和具体流程,最后通过几个不同类型的方程来说明软件包NAPA的有效性和灵活性.