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关于矩阵组合分析性质的若干结果

黄泽军  
【摘要】:我们研究了关于0-1矩阵、部分矩阵、符号模式、非负矩阵的几个问题.我们的工作分为以下几部分: 1.综合运用图论和矩阵论的技巧证明了:当k≥n-1时,若n阶0-1矩阵A的k次方仍是0-1矩阵,则A中最多有n(n-1)/2个1,A中有n(n-1)/2个1当且仅当A置换相似于对角线以上元素全为1的严格上三角矩阵. 2.确定了任意次幂仍是0-1矩阵的n阶0-1矩阵中元素1的最大个数和取到这一最大个数的矩阵.当n是奇数时这一最大个数为(n+1)2/4,当n是偶数时这一最大个数为n(n+2)/4. 3.刻画了所有填充具有相同行列式的部分矩阵. 4.刻画了所有填充具有相同秩的部分矩阵,确定了给定阶数的这类矩阵中未定元的最大个数以及达到最大个数的部分矩阵.这一工作与刻画给定部分矩阵的最小秩这一未解决问题密切相关. 5.刻画了k-幂零符号模式,找出了k-幂零符号模式中非零元的最大个数并刻画了取得这个最大个数的k-幂零符号模式.这项工作与Turan图有关. 6.证明了不等式 这里矩阵是非负的,A o B表示A和B的Hadamard乘积,和ρ(A)分别表示A的谱范数和谱半径.它们加强了Schur的经典不等式,推广了Zhan-Audenaert的结果. 7.否定地解决了关于非负矩阵的奇异值和酉不变范数的两个猜想. 本文的部分工作是与Richard A. Brualdi教授、詹兴致教授合作完成的.


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