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随机微分方程在金融中的若干应用

徐耸  
【摘要】:近些年,随着金融数学的迅速发展,随机微分方程在金融中有了越来越多的应用。作为重要的金融工具,期权和股票受到广泛的关注。在本文中,我们在几类随机微分方程模型框架下考虑期权的定价风险和对冲误差,以及股票市场技术分析的可行性,并对现有股票价格模型的合理性进行检验。具体内容如下: 第一章首先介绍了金融数学的起源和发展,然后介绍了期权和对冲的概念,以及期权的分类,给出需要的基本预备知识。 第二章考虑了带分红的股票期权,在标的资产服从几何布朗运动的情况下,根据Girsanov定理得到风险中性测度,用可料二次协变差过程,得到了用方差最优法度量风险时的最优对冲策略,给出在实际操作中可直接计算的显式表达式。 第三章模拟了对冲误差占期权价格的比例,根据Ito公式等计算了在最优对冲策略下的对冲误差的上下界,并举例说明了传统期权定价的风险。 第四章研究了时滞随机微分方程模型下的期权定价和对冲策略。已有许多学者指出,当前的股票价格总是受过去的股价影响,我们首先在时滞Black-Scholes模型下得到了最优对冲策略的表达式;其次,给出了时滞模型下的期权定价。最后,考虑了一类随机时滞模型下的期权定价和对冲。 第五章首先介绍了股票市场常用的几种技术分析指标,例女(?)BOLL、ROC、RSI。实证分析表明,股票收益率具有长期相依性。而现有的被广泛讨论的指数Levy模型不具有长期相依性,在这一章我们考虑指数分数布朗运动模型。由于分数布朗运动不象Levy过程那样具有独立增量,也不具有马氏性,我们寻找新的方法,用随机分析和矩阵论的相关知识进行推导。我们证明了关于几种常见技术分析指标的统计量的平稳性;接着,由Birkhoff遍历定理给出其相关指标的收敛性,得到了股价落出其正常范围的频率的大数定理,并给出收敛速度;最后,我们用美国股市的日数据和中国股市的高频数据对股票价格变动的独立性进行检验。


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