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黎曼流形上非线性抛物方程的性质研究

蒋新荣  
【摘要】:本论文主要研究黎曼流形上几类非线性抛物方程的解的性质,包括带权的媒质方程和带权的快速扩散方程的光滑正解的局部和整体的Aronson-Benilan估计以及这两类方程的熵的性质,某类非线性热型方程的在闭流形上的有界正解的整体Hamilton型梯度估计和这个方程的在紧致带非凸边界上的正解的整体Li-Yau型梯度估计,以及平均曲率流能够延拓的一个条件. 具体地讲,首先在第二章中,我们研究了带权的媒质方程和带权的快速扩散方程的光滑正解的局部和整体的Aronson-Benilan估计以及这两类方程的熵的性质,及得到这两类方程的在一定曲率条件下的古老解为常数.这些结果推广了L.Ni等在文献[53]中的关于媒质方程和快速扩散方程的光滑正解的Aronson-Benilan估计,及其他一些性质. 在第三章中,我们给出了非线性热型方程ut-Δu=aulogu的正解的两个梯度估计.其中一个是在闭黎曼流形上这个方程的有界正解的Hamilton型梯度估计,这个结果推广了L.Ma在文献[54]中的一个定理;另一个是在带非凸边界的紧致黎曼流形上的正解的整体Li-Yau型梯度估计,这个结果推广了J.P.Wang在文献[69]中的一个定理. 最后,在第四章中,我们给出了平均曲率流在第一奇性时间时能够延拓的个条件,即第二基本形式能被平均曲率的倍数控制和某个平均曲率积分的下临界量有限,这个结果推广了N.Q.Le和N.Sesum在文献[47]中及H.W.Xu,F. Ye和E.T.Zhao在文献[78]中的一个定理.


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