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Sylvester矩阵方程的迭代算法与四元数矩阵方程的解

宋彩芹  
【摘要】:本文共分两大部分:第一部分是实数域或者复数域上矩阵方程的迭代算法研究,包括第二章和第三章;第二部分是四元数矩阵方程解的探讨,包括四元数矩阵方程的解析解和迭代解,详细内容见第四章和第五章.具体内容如下: 1.耦合Sylvester-转置矩阵方程的迭代算法. 提出了两个求得耦合Sylvester-转置矩阵方程解的迭代算法.第一个是基于分级定义原理提出的迭代算法,此时,证明了对任意初始值迭代解收敛于真实解,分析了迭代算法的收敛性,给出了保证迭代算法收敛的充分条件,推广了文献[134]的结论.另一个是在共轭梯度迭代算法的基础上提出的有限迭代算法.当方程相容时,在不计舍入误差的条件下,对任意的初始值,在有限步之内可得到方程的解.若选择特殊的初始值,可得到方程的极小范数解.对于给定的矩阵,通过有限迭代算法可以求得其最佳逼近解,推广了文献[118]的结论.同时,给出了两个数值例子分别验证了上述两种算法的有效性. 2.广义Sylvester-共轭转置矩阵方程的迭代算法. 利用分级定义原理,建立了一种求解广义Sylvester-共轭转置矩阵方程(包括文献[142]中的共轭转置矩阵方程X-AXHB=F)的解的迭代算法.对任意的初始值,迭代解收敛于真实解,以复矩阵的实表示为工具对算法进行了收敛分析,给出了迭代算法收敛的充分条件.与文献[142]的Stein迭代算法相比,我们的算法适合解决更广泛的共轭转置矩阵方程的迭代解问题.最后,给出一个数值例子验证迭代算法的有效性. 3.四元数矩阵方程的解. 利用张量映射和四元数矩阵的复表示,提供了两种计算四元数矩阵方程XF-Ax=C和X-AXF=C的解析解的方法,给出了解析解的表达式,同时,给出计算四元数矩阵方程解析解的数值例子:借助四元数矩阵的实表示和张量映射,深入的分析了四元数矩阵方程AXB-CXD=E的解存在的条件.给出了两种计算四元数矩阵方程AXB-CXD=E的解的方法.同时把复数域的Jameson定理推广到四元数域.最后给出计算四元数矩阵方程AXB-CXD=E的解的一个算例. 4.耦合四元数矩阵方程的迭代解. 在四元数矩阵空间中定义了一种实内积,引入了一种四元数矩阵范数的概念,该概念是复数域矩阵范数的推广,在复数域共轭梯度迭代算法的基础上提出了一种迭代算法.给出了求解耦合四元数矩阵方程的迭代解和最佳逼近解的方法.当耦合四元数矩阵方程相容时,在不计舍入误差的条件下.对任意初始四元数矩阵,用实内积的方法证明了耦合四元数矩阵方程的迭代解在有限步内收敛于真实解.若选择一类特殊的四元数矩阵作为初始矩阵,则得到耦合四元数矩阵方程的极小范数解.最后,提供了一个数值例子验证迭代算法的有效性.


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