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边值问题的四阶紧有限差分方法及单调迭代算法

武文佳  
【摘要】:微分方程的边值问题在工程和物理等应用领域都有广泛的应用,因此对这样的问题给出有效的数值方法具有重要的理论意义和实际的应用价值.本文针对一类半线性高阶多点边值问题和一类二维半线性变系数椭圆边值问题,分别建立了四阶紧有限差分方法并给出了有效的单调迭代算法用于数值求解. 本文主要分为两部分.第一部分,我们首先对一类半线性二阶多点边值问题给出了数值解法.用四阶紧Numerov方法将其离散为紧有限差分方程组,并用上下解方法研究了解的存在唯一性.证明了方法的收敛性和四阶精度.提出了一种具有二次收敛率的加速单调迭代算法用于求解离散得到的紧有限差分方程组,并给出了收敛率分析.一些应用和数值结果验证了方法的有效性.其次,我们对一类2n阶半线性多点边值问题,建立了四阶紧有限差分方法.用上下解方法证明了有限差分解的存在唯一性,证明了方法的收敛性和四阶精度.给出了有效的线性单调迭代算法用于数值求解,并给出了上下解的几种构造方法.理论分析不需要非线性项的任何单调性.应用和数值结果显示了方法的有效性和它的优点. 第二部分,针对一类二维变系数半线性椭圆边值问题,我们建立了适用于各向异性网格的紧有限差分方法,求解区域为矩形区域的组合,它包括了非标准的区域如L-型区域和T-型区域等.我们用上下解的方法讨论了有限差分解的存在唯一性.通过离散L~∞-范数估计,证明了方法的收敛性和四阶精度,并且用离散能量分析方法给出了常系数问题的离散H~1-H~2-和L~2-范数误差估计.为了有效求解相应的非线性差分方程组,我们用上解或下解作为初始迭代,设计了一类Picard单调迭代算法.数值结果验证了理论分析和各向异性网格的适用性,并通过L-型和T-型区域上的两个例子,显示了方法对非标准区域的有效性. 然后,对上述紧有限差分方程组给出了一种统一的单调迭代算法,该算法包括了常用的Picard迭代算法、点式和块Jacobi迭代算法以及点式和块Gauss-Seidel迭代算法,同时,它还给出了一些新的且适用于并行计算的块单调迭代算法.迭代序列单调且几何收敛于紧差分方程组的极大解或极小解.对不同的单调迭代算法,我们给出了一些理论比较结果,这些比较结果显示了块迭代算法比相应的点式迭代算法收敛速度要快,更适用于数值计算.针对三个模型问题,包括一个T-型区域上的问题,我们给出了一些数值结果.通过与已知解析解的比较,数值结果显示了数值解的精度,并比较了不同块迭代算法及点式迭代算法的收敛率 最后,对上述紧有限差分方程组,我们提出了一种高阶单调迭代算法.迭代算法给出了两个单调收敛的序列,这些序列分别单调收敛于紧差分方程组的极大解或极小解,且每步迭代给出了解的改进的上下界.我们证明了两序列之和的收敛率为p+2阶,其中p为非负整数,其具体的值依赖于方法的构造.对两个模型问题,包括一个T-型区域上的问题,我们给出了高阶单调迭代算法的具体应用,数值结果显示了高阶单调迭代算法的有效性.


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