微分方程解析解的符号计算研究

【摘要】：自然科学和工程技术中的许多问题都可用非线性微分方程来描述.非线性微分方程解析解的研究有助于弄清物质在非线性作用下的运动规律,剖析事物之间的联系.非线性微分方程的复杂性决定了它的求解不可避免的要涉及繁复的微分和代数运算,有的甚至是人力难以完成的,这就为研究人员提出了新的课题,即如何将这些繁复的微分和代数运算交由计算机去自动完成.近几十年来,高性能计算机的发展和符号计算系统的出现,极大地推动了非线性微分方程领域的符号计算研究,涌现出了许多构造非线性微分方程精确解和解析近似解的方法和算法.本文以非线性微分方程为研究对象,基于数学机械化思想,借助于计算机代数系统Maple,研究了构造非线性微分方程精确解及解析近似解的方法和算法.主要工作如下： 第一部分研究了构造非线性微分方程解析近似解的方法和算法.同伦分析方法是我国学者原创性地提出并逐步发展起来的.由于非线性问题的普遍存在性,同伦分析方法的提出对非线性学科的理论及应用研究具有重要的理论意义及应用价值.带预测参数的同伦分析方法是对传统同伦分析方法的一种改进和推广,该方法可有效地分析出一个非线性微分方程是否具有多解.对于具有多解的非线性微分方程,该方法能够在同一组线性辅助算子,辅助函数和初始猜测解下,同时构造出该方程多个解析近似解.本文应用带预测参数的同伦分析方法研究了一些非线性微分初边值问题,分析了这些方程是否具有多解性,进而分别构造出了这些方程的解析近似解,并在计算机代数系统Maple上完全实现了该算法,其中的软件包PHAM_SOLVE可自动分析输入系统是否具有多解性,同时可进一步推导出其解析近似解.该软件用户界面友好,对非线性微分方程的多解性能够以图示的方式直观输出. 第二部分研究了构造非线性演化方程精确解的方法和算法.不变子空间方法是构造非线性演化方程精确解的一种有效的方法,该方法的核心思想是将一个线性微分方程解的子空间看作是一个非线性演化方程解的不变子空间,从而构造出具有分离变量形式的精确解.本文以非线性演化方程为研究对象,应用不变子空间方法求解了几个典型的非线性演化方程,通过分别在不同维数的不变子空间上对方程进行分类,构造了方程的精确解.这些解的形式极为丰富,其中包括多项式解、指数函数解、三角函数解、特殊函数解以及不同函数混合形式的解.