非线性微分系统解析解的符号计算研究

【摘要】：数学机械化研究是我国数学家吴文俊先生于上世纪70年代末开始倡导的一个研究领域.国际上在上世纪80年代就积极推进基于符号的计算机处理方法,发展利用计算机进行分析、演算和推理的理论与实践,随之也先后诞生了几个优秀的符号计算软件,如Reduce、MACSYMA、Mathematica和Maple等.特别是Mathematica和Maple已经在数学和工程领域中被广泛使用.我国在该领域的应用研究(尤其是计算软件)起步较晚,目前水平也远远落后于西方发达国家.因而,国家十二五发展规划将计算软件列为重点支持的研究方向. 科学研究和工程技术中很多问题的研究,最终都可以归结为非线性微分方程的求解问题.因此,非线性微分方程的解法研究始终是数理科学中核心的课题.本文以微分方程为研究对象,在吴文俊数学机械化思想的指引下,主要研究构造非线性微分方程(特别是非线性微分初、边值问题)解析解的机械化算法,进而研发自动推导非线性微分系统特定类型解析解的软件包.本文的创新之处在于首次将双重分解法及二步分解法等嵌入到经典的Adomian分解法中,发展出构造非线性微分初、边值问题解析近似解的新算法,并研制出相应的符号推演软件包.具体工作如下： 1.解析近似解Adomian分解法是构造非线性微分系统解析近似解的有效方法之 .该方法因其计算过程简单且能求解强非线性问题,被广泛应用于各种非线性问题的求解中.在经典Adomian分解法的基础上,Adomian及其合作者还提出了改进的Adomian分解法、加速的Adomian分解法、二步分解法、双重分解法等.特别是由Adomian和Rach发展起来的双重分解法,可大大简化求解非线性微分边值问题的计算过程.二步分解法的实质是在经典分解法的基础上增加了尝试构造微分方程精确解的环节.2008年Rach借助于截断算子重新定义了Adomian多项式,其新算法不仅涵盖了已有的Adomian多项式计算算法,而且新算法的计算效率明显提高.本文基于Rach的新算法、二步分解法和Pade近似技术,提出了构造非线性微分初值问题解析近似解的ADM-Pade新算法；并将双重分解法嵌入到求解初值问题的ADM-Pade算法中,进而提出了构造非线性微分边值问题解析近似解的新算法.然后将这两个算法推广到分数阶微分方程情形.在上述三个新算法的基础上,本文还在计算机代数系统Maple平台下研发了软件包ADMP该软件包可自动推导出非线性微分初、边值问题(包括分数阶非线性微分初、边值问题)的解析近似解.该软件包对具有Robin等复杂边界条件的非线性微分系统和具有分数阶初始条件的非线性微分系统同样也有效. 2.精确解：不变子空间方法是构造非线性微分方程精确解的有效方法之一.本文应用不变子空间方法构造了一个一维反应扩散方程的精确解,并深入分析了其行为特征.在一维方程不变子空间的基础上,由二维反应扩散方程的特征,进一步构造出二维方程的不变子空间,从而获得了二维反应扩散方程的精确解.最后,通过斑图和时空序列图,成功解释了一系列自然现象.不变子空间方法的原理虽然简单,但是其计算过程相当繁复.本文也在Maple平台下完全实现了不变子空间方法,其中包括软件包ISM.它可以自动推导出输入方程的精确解和相应的参数约束条件,现己成功求解了三十多个非线性微分方程.需要注意的是,利用该软件包还可推导出输入方程一系列的特解,其中包括多项式解、有理函数解、三角函数解、指数函数解及不同函数的混合型解,如文中(4.72)表示的complexitions解就是由指数函数与三角函数混合表达的,又如文中(4.25)表示的positons解就是由不同三角函数混合表达的解等等.