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几类特殊函数的赋值分析研究

常晓阳  
【摘要】:特殊函数在众多科学研究领域,如物理,化学,计算机科学,工程学中都有着广泛的应用。由于大多数特殊函数的形式复杂,很难直接计算求得其准确的解,在实际计算中一般使用逼近的方法对特殊函数近似求值。在计算机系统中普遍采用IEEE 754浮点标准,在特殊值异常处理方面存在上溢、下溢等问题,且由于受到存储空间和计算机字长的限制,每一步数值计算都会存在舍入误差,且随计算过程的累积误差会越来越大;另一方面,对特殊函数逼近的赋值表达式大多是无穷级数或连分式的形式,赋值时会产生截断误差。两者都会造成对特殊函数赋值的不准确。在本文中,我们研究了无误差运算的计算环境,并对该环境下的异常处理机制的设计进行了分析;对两类特殊函数,即指数积分函数和贝塞尔函数进行了完整的赋值分析。本文的主要工作包括:1.基于在无误差运算环境引入的universal number(unum)通用数字格式,我们分析了对浮点运算所涉及的特殊值(special Value)的表示形式,包括上溢,下溢,无穷,NaN(Not a Numbor)等。这种底层设计能够为进一步的运算构建一个数学上可靠的计算环境。2.对指数积分函数在计算机代数系统Maple上进行完整的赋值分析,在不同自变量区间上,分析使用不同赋值方法对函数进行逼近的效果,保证赋值结果的精度;结合指数积分的性质,研究在不同阶形式下的近似赋值效果。探讨函数的最优逼近。3.针对整数阶和半奇数阶的第一类贝塞尔函数,在计算机代数系统Maple上进行完整的数值分析。研究了在不同自变量区间上多种赋值方法的相对误差,及其随展开项数的变化,讨论了函数的最优逼近。另外,我们探讨了第一类贝塞尔函数各种赋值方法对不同阶的第一类贝塞尔函数赋值的影响。


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