双有理几何和动力系统中的若干问题

【摘要】：代数和算术动力系统的核心目标之一是动力系统观点下的(任意特征)代数闭域和数域上的代数簇的精细双有理几何分类[3,10,21,37,56,96,121,126].本论文的主要目标是射影簇的正熵自同构群的分类问题、射影簇的零熵自同构群的导出长度以及Kawaguchi-Silverman 猜想[62]的研究等.T.-C.Dinh和N.Sibony[33]证明了紧Kahler流形M的正熵自同构群的交换子群G是秩为dr(G)≤ dim M-1的自由交换群.更一般地,D.-Q.Zhang[122]和F.Hu[50]证明了任意特征代数闭域上的射影簇的自同构群的Tits型定理[113].特别地,复射影簇X的正熵自同构群的任意交换子群G是秩为dr(G)≤dim X-1的自由交换群.近年来,D.-Q.Zhang在其系列论文[122,124,125]深入研究了满足dr(G)=dimX-1的复射影簇X和正熵自同构群的子群G.我们的目标是研究满足dr(G)=dim X-2的复射影簇X和正熵自同构群的子群G.T.-C.Dinh,K.Oguiso 和 D.-Q.Zhang[31]证明了 n 维 Kahler 流形的零熵自同构群的导出长度至多n-1.我们将其推广到任意特征的代数闭域上的射影簇情形.同时,我们还给出了一个任意特征的Fujiki-Lieberman型定理.Kawaguchi-Silverman猜想(简称KSC)说的是:对(?)上射影簇X的自支配有理映射f:X→X,如果任意点P有Zariski稠密f-轨道,那么算术次数α.f(P)都等于f的第一动力次数d1(f).当假设f是态射,我们将KSC约化到三种情形:弱Calabi-Yau簇,有理连通簇,有非平凡特殊MRC纤维化的簇.特别地,对f是自同构和dim X=3的情形,我们有更精细的约化结果.最后,我们证明了 KSC对于Picard数为1的光滑Fano簇上的任意射影丛的任意自同态都成立。