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变系数模型的研究与分析

卢一强  
【摘要】: 非参数回归一般假定回归函数属于某一个函数类,如常常假定回归函数是一个光滑的函数,因此非参数回归对模型的假设很少,最主要的优点就是模型具有稳健性。非参数回归作为现代统计分析的主要方法之一,得到广泛的应用。对于非参数回归人们提出了许多估计方法,如核估计,局部多项式估计,光滑样条估计,级数估计(傅里叶级数估计,小波级数估计)等。这些方法本质上讲都是局部估计或局部光滑,当回归变量X为一维变量时,非参数回归函数用这些方法一般都能得到很好的估计。但当回归变量是多维向量时,由于X的局部邻域包含很少的数据,用这些估计方法,很难估计出一般的多元非参数回归函数,人们把这种现象称为‘维数祸根’(the curse of dimension)。可是实际中我们经常遇到的是高维数据,因此高维数据分析是人们一直关心的问题,近年来统计工作者提出了许多分析方法,总得来说可以分为两大类:一类称为函数近似(function approximation),如可加模型(Hastie and Tibshirani,1986),部分线形模型(Engle, et al; 1986);另一类为降维(dimension reduction),如SIR回归(sliced inverse regression(Li,1991)),投影追踪回归(projection pursuit regression)(Friedman and Stuetzle,1981);图回归(graphical regression, Cook, 1994), PHD (principal Hessian direction)分析(Cook, 1998), MAVE方法(minimum average variance estimation method(Xia, Y. et al.,2002)。本论文主要讨论的是变系数模型(the varying coefficient model),属于函数近似这一类。 变系数模型的一般形式为 y=χ_1β_1(t_1)+…+χ_pβ_p(t_p)+ε (1)其中X=(χ_1,…,χ_p)~T和t=(t_1,…,t_p)~T为回归变量,y为响应变量,ε为随机误差,Eε=0,Eε~2=σ~2.β_l(t_l),l=1,…,p为未知的光滑函数,t_1,…,t_p是通过未知的函数β_l(t_l)来改变χ_1,…,χ_p的系数,β_l(t_l)暗含了t_l与χ_l的一种特殊的交互关系,t_l可能互不相同,也可能相同,也可能是某个χ_l。特别地,当t_1,…,t_p均相同时,不妨记为t,则模型(1)变为 y=χ_1β_1(t)+…+χ_pβ_p(t)+ε (2)本文我们都在模型(2)下讨论函数系数模型. 华东师范大学博士学位论文(20韶) 相对于一般的多元非参数回归,变系数模型对回归函数的结构提出了一些限 制.可是,尽管变系数模型看起来比较具体,实际上它是一个非常一般的模型,许多 模型如可加模型,部分线形模型,线形模型等都可以看作是变系数模型的特殊情形. 变系数模型既部分保留了非参数回归稳健性的特点,又具有结构简单,容易解释等优 点.广泛应用到纵向数据分析,非线性时间序列分析,生物数据分析等,近年来受到 人们的普遍关注(W、,。亡 all998:Fa:,andZ}lal,g,2000:Chiang,Riee and Wu:2001,Cai,Fan and Yao;2000)等. 本文提出用B样条函数和贝叶斯模型平均等方法来估计变系数模型中的函数 系数,主要内容为: 第一章绪论,主要介绍常见的一些光滑方法,光滑参数,光滑参数的选择,高 维数据,B徉条函数,变系数模型及其本文的主要内容. 第二章在数据为独立观察的场合下,给出了函数系数的B样条最小二乘估计, 并讨论该估计的性质.假设弋二(二,,,…,从;),观察数据(军‘,弋,t‘)几1相互独立,它 们为来自于变量(,,X,:)的样本,二(亡)=(二l仕),…,二N仕))了为。次B样条函数的 基,N二。+k+1为基的维数,k为节点的个数.若山,l=1,…,p使得 艺[::一(x*1二丫(‘:)al+…+二‘p二了(‘,)ap)]“ 最小.则模型(2)中的函数系数的B样条最小二乘估计 八(,)二二了(t)dz 假定凤(t)。cm卜,句,在一定的正则条件下,若节点个数k=O(。石轰了),函数系 数的B样条最小二乘估计能够达到非参数估计的最优收敛速度(定理2.1) }}户(*)一。(,)*卜O;(二一击)) 进一步地,假定。1,…,。。独立,均值为。,方差尹已知,任意的l兰l兰熟 国:城,且“一口(。流)则对任意给定的‘,风t)一流(t),…,几(t))·具有渐近正态 性(定理2.3) :万去(‘)(户(。)一刀(‘))马N(o,‘a,) 华东师范大学博士学位论文归口0s) 第三章讨论了在纵向数据(lollsitlldillal data)场合下,函数系数的B样条M估 计.在重复观察试验中,假设叭t)和x(t)是在时刻t的响应变量和回归变量,叭t) 和X(t)之间有一种线性关系.即: 粉(t)=X了(t)口(t)+:(t) 其中。(幼是一个均值为。的随机过程, 现有。个个体,对第‘个个体有 个体的第j次观察记为(物,弋,,t*,州 弋,=X:(t勺)=(Xij;,…,X。,,)了〔Rp,万:, 口(t)=(口1(亡),二 。:次重复观测, ,丙川)了是函数系数向量. (,(亡),X(t),亡)关于第乞个 二1,…,.:7 、*,艺儿1。* 二。,其中 =梦(t:,)· 重复测量数据(物,弋,,ti;)可以看作是模型(3) 的凸损失函数,7r(·)为B祥条函数的基,若d‘. 艺兄。(。,,一X‘;1·‘了(‘。)“,一 的一个随机抽样.设风·)为一般 1,…,p使得式子 丸p·7r了(t*,)外) z=IJ二1 最小,


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