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矩阵的表示理论及其在数值计算中的应用

姜同松  
【摘要】: 矩阵的理论和方法不仅是各数学学科的基本工具,而且在理论物理学、经济学、统计学、最优化、信息处理、自动控制、工程技术和运筹学等应用学科的理论研究和数值计算中都有着广泛的应用。近年来,随着近代量子力学的不断发展,力学工作者遇到并提出了一系列有关矩阵的理论和计算方面的疑难问题,这些问题制约着量子力学的发展,急需数学工作者给以解答。 在本文中,我们通过引入复矩阵的实表示、四元数矩阵的复表示、友向量和伴向量的方法,研究并解决了量子力学等学科中的有关矩阵理论与计算中的下列三类系列疑难问题: 1.矩阵的合相似问题 两个复矩阵A,B称为是合相似的是指存在复可逆矩阵S满足S~(-1)A(?)=B。我们通过复矩阵的实表示、友向量和伴向量方法,研究并解决了合相似意义下矩阵的若当标准形、合相似意义下矩阵的三角化和矩阵的广义对角化的问题。不但从理论上给出复矩阵的一个新的若当标准形,而且还给出了相应复矩阵若当标准形的计算方法。进一步地,我们不但给出求一个复矩阵A的合若当标准形J的简单方法,而且还给出一种求相应合相似可逆矩阵S(满足S~(-1)A(?)=J)的算法。 2.矩阵方程的解问题 矩阵方程解的问题是矩阵理论中的一类重要的问题。如何给出某个矩阵方程的解有时非常困难。我们通过复矩阵的实表示、四元数矩阵的复表示、友向量和伴向量方法,研究了几类矩阵方程AX-(?)B=C,X-A(?)B=C,AXB-CYD=E的 华东师范大学博士论文矩阵的表示理论及其在数值计算中应用vi 解的问题.不但给出了相应矩阵方程有解的充分必要条件,而且还给出了相应矩阵 方程的公式解. 3.四元数矩阵的数值计算问题 四元数量子力学是近十几年来才发展起来的一门新兴的物理学科,由于四元数 乘法的不可交换性,使得四元数量子力学中的四元数数学理论基础,特别是有关四 元数问题的数值计算方法很不完备.我们通过四元数的复表示和友向量方法,研究 并解决了四元数矩阵的一系列数值计算间题,给出一套四元数量子力学中的数值计 算方法.


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