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Firey p-和的Christoffel-Minkowski问题

胡长青  
【摘要】: 本文中我们利用完全非线性椭圆方程的理论讨论欧氏空间中凸体关于Firey p~-和的中间曲率测度的预定,这就是所谓的Firey p~-和的Christoffel-Minkowski问题。 经典的Christoffel-Minkowski问题就是寻找这样的n维凸体K,使得关于边界(?)K的主曲率半径(相对于外法向量)的第k个初等对称函数为预先给定的函数,这等价于预定凸体k的第k阶(1≤K≤n)面积测度.当k=n时这就是著名的Minkowski问题. 1962年,W.J.Firey将凸体的Minkowski和的概念推广为p~-和,这里p≥1;E.Lutwak在1991年开始的一系列工作说明:对每一个Firey p~-和,都有相应的Brunn-Minkowski理论,从而显示出Firey p~-和是一个很重要的概念.相应于Firey p~-和,我们可以提出类似的问题:寻求欧氏空间R~(n+1)中的凸体K,使得它的第k阶p~-曲率函数为预先给定的函数.p~-和的Minkowski问题已经被E.Lutwak,管鹏飞和林长寿等数学家所考虑. 在本文中我们考虑预定第七阶(1≤K<n)p~-曲率函数的问题,我们在合理的凸性假设下,解决了具有给定p~-曲率函数的n-维凸体的存在性和唯一性(参看主要定理).对于与之相联系的完全非线性椭圆方程,我们得到的解的先验估计以及解的凸性的结论也是有意义的.


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