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几类微分差分方程的稳定性理论研究

李先义  
【摘要】: 微分差分方程是用来描绘自然现象变化规律的一种有力工具,其定性分析一直是近年来研究的热点问题。本篇博士论文主要研究了这些热点问题中尚存在的问题。粗略地说,我们作了下列几个方面的工作: 1.尝试使用一种新的方法研究有理型差分方程全局渐近稳定性; 2.解决一国际期刊上提出的几个“公开问题与猜想”; 3.指出并改正两家著名国际刊物上论文中的错误; 4.改进许多已有的工作。 我们的工作主要集中在两个方面:一是差分方程的稳定性理论;另一个是超前型微分方程的振动性。整篇论文分为五章。 已有的工作,包括已有的结论和方法,主要概括在第一章的第一节中;而第二节则总结了我们自己的主要工作。为了续篇叙述的整洁起见,有关微分差分方程的基本理论被阐述在第二章中。 第三章我们主要研究了差分方程的稳定性。在第一节中介绍了一种新的方法,称之谓“半环分析法”,研究有理型差分方程的全局渐近稳定性;这种方法有别于已知方法,产生于作者试图解决国际期刊《Journal of Difference Equations and Applications》上提的关于一个具体的有理型差分方程的全局渐近稳定性的猜想时;这种方法可以应用来解决一类有理型差分方程的全局渐近稳定性,且所考虑的问题很难用已有文献中的方法解决。在第二节中研究了另外两个有理型差分方程的全局渐近稳定性和有界持久性,所得结果解决了一个公开问题,并把前人对一个猜想的研究进一步向前推进。在第三节研究了一个较一般的差分方程的全局吸引性,为一个公开问题得到了新的结果。在第四节我们指出并纠正《Applied Mathematics Letters》上关于非线性二阶差分方程渐近性的错误,并给出了新的结论。通过列举一系列的反例,我们在第五节指出,著名的印度学者E.Thandapani和美国学者K.Ravy在《Computers and Mathematics with Applications》上关于具有强迫项的二阶拟线性差分方程非振动解的分类方法是根本错误的,给出了新的结论,完整地解决了这类方程的分类问题。 第四章着重考虑了差分方程的振动性。第一节中研究具有连续变量 的非线性中立型差分方程的振动性与非振动性,得到了振动性的“ sharP” 条件:第二节研究了具有连续变量的线性中立型差分方程振动性与非振动 性的一些比较结果;在第三节我们研究了二阶中立型时滞差分方程的非振 动解的存在性与渐近行为;G.Ladas在第一次国际差分方程会议上提出的 关于 Bobwhite Quail种群模型的一些公开问题仍是我们感兴趣的问题;我 们得到了该模型振动性和有界持久性等的新结果,包含改进了许多已知结 果;这些结论阐述在第四节。第五节研究了含有“最大值”函数的一个有理 型差分方程的一些性质,主要是振动性、环长与周期性等,部分解决了一 个公开问题。 第六节中研究了tyness方程的一些性质;首先对于常系数的tyness 方程,得到了其周期性的几个充分条件,尤其是5一周期的充要条件;据此解 决了一个关于差分方程周期性的公开问题;然后把这个方程推广到一般情 形,研究其振动性、环长与周期性等。最后,我们考虑了变系数的Lyness方 程;首先用反例否决了一个猜想,从而阐明常系数tyness方程与变系数 Lyness方程在吸引性方面的本质差异;然后研究了变系数 Lyness方程的 不变性与有界持久性,部分解决了一个公开问题。 在第五章我们着重研究了泛函微分方程的振动性与周期性。对目前研 究得较少的超前型微分方程,先考虑了系数定号时的振动性与非振动性, 这个结果改进了 G.Ladas和 I.P.St。roulakis在《Journal of Differential Equations》上的结果;然后在第二节研究了变号系数时的振动性;最后一 件中,利用重合度理论研究了一个与生物模型有关的时滞微分方程系统正 周期解的全局存在性,包含并改进了已知的结论。


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