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非线性耦合标量场方程组孤立波解的符号计算

姚若侠  
【摘要】: 以物理学中的问题为背景的非线性微分方程的研究是当代非线性科学的一个重要方面。创造和发展非线性微分方程新的求解方法是非线性物理最前沿的研究课题之一。本文将我国著名数学家吴文俊的数学机械化思想应用于非线性物理领域,给出了构造非线性波方程组一类特殊精确解的一种统一算法,利用这种算法系统地研究了出现于非线性物理领域中的两类重要的非线性耦合标量场方程组,获得了这些方程组一批精确解(包括稳定和发散形式的孤立波解以及周期解)。这些解的发现将有助于弄清物质在非线性作用下的运动规律,对相应物理现象的科学解释起到重要作用。 算法的基本原理是基于这样一种观察,即非线性波方程绝大部分有物理意义的孤立波解都可以表示成具有局部性特征的“钟状函数”-sech和“扭状函数”-tanh的多项式。从这两个函数所满足的Riccati方程组出发,本文提出了构造非线性耦合波方程组孤立波解的一种直接代数方法-REQs方法。这种方法不仅可以获得非线性耦合波方程组稳定形式的孤立波解,也可以得到发散形式的孤立波解以及周期解。 数学机械化思想的核心是代数化进而机械化。REQs方法的实质就是将非线性波方程组精确解的计算问题转化为大规模的非线性代数方程组的求解问题。吴文俊提出的消元法是求解非线性代数方程组一个强有力的工具。本文针对具体问题采取了特殊的策略,使求解问题先得到简化,再利用吴方法进行求解。用这种办法在计算机代数系统Maple上成功地求解了非线性耦合标量场方程组所对应的非线性代数方程组,最终获得了耦合标量场方程组的众多精确解。


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